§2. Умножение матриц

1. Основные определения. Определим сначала произведение сроки на столбец и матрицы на столбец, затем перейдем к общему случаю произведения матриц.

Определение 2.1. Умножение строки размерности на столбец размерности осуществляется по формуле

,

т.е. первая координата строки умножается на первую координату столбца, вторая координата строки на вторую координату столбца, и т.д., а затем все произведения складываются.

Примеры.

а) ,

б) .

Определение 2.2. Произведение матрицы А ( ) размера на столбец размерности  определим следующим образом:

.

Таким образом, если матрица состоит из строк, то ее произведение на столбец подходящей высоты – это столбец размерности , первая координата которого есть произведение первой строки матрицы на столбец  , вторая координата – произведение второй строки матрицы на столбец  и т.д. Исходная матрица имела строк, и каждая была умножена на столбец , поэтому получилось чисел, которые располагаются в столбец.

Отметим, что согласно этому определению матрицы размера можно умножать только на столбец высоты n. При этом столбец следует писать справа от матрицы. Результат умножения – столбец размерности .

Примеры.

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) .

Определение 2.3. Пусть – матрица размера и – матрица размера (т.е. количество столбцов матрицы совпадает с количеством строк матрицы ). Тогда можно определить произведение матриц и . Произведением матриц и называется матрица размера , элементами которой служат числа:

. (5)

В соответствии с формулой (5) элемент произведения, расположенный на пересечении -ой строки и -го столбца, равен произведению -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы :

.

Согласно определению 2.3 число строк произведения двух матриц равно числу строк первого сомножителя , а число столбцов произведения – числу столбцов второго сомножителя .

Пример 2.4. Пусть и . Найдем произведение . Заметим сначала, что матрица имеет две строки, так как матрица имеет две строки, и матрица имеет два столбца, так как матрица имеет два столбца. Поэтому – матрица размера . Найдем ее элементы:

,

,

,

.

Следовательно, .

Определение 2.5. Матрица размера называется квадратной матрицей порядка n.

Определение 2.6. Квадратная матрица порядка , на главной диагонали которой расположены числа , а в остальных местах нули называется скалярной и обозначается . Квадратная матрица порядка  , на главной диагонали которой расположены единицы, а в остальных местах нули называется единичной и обозначается или просто :

.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы .

2. Транспонирование матрицы. Введем еще одну операцию над матрицами.

Определение 2.7. Матрица , элементы столбцов которой равны элементам соответствующих строк матрицы , называется транспонированной матрицей .

Переход от данной матрицы к транспонированной матрице называется операцией транспонирования. Таким образом, транспонирование – это операция, в результате которой строки и столбцы матрицы меняются ролями. Отметим, что для квадратной матрицы транспонирование является отображением симметрии относительно главной диагонали.

Примеры.

Если , то .

Если , то .

Операция транспонирования обладает следующим свойством:

.

3. Свойства операции умножения матриц. Оказывается, что умножение матриц удовлетворяет сочетательному закону (этот закон в алгебре называют ассоциативностью), но не удовлетворяет переместительному закону (т.е. не является коммутативным).

Приведем таблицу используемых далее терминов.

тождество	название тождества в элементарной математике	его название в современной алгебре
	сочетательный закон	ассоциативный закон, ассоциативность
	переместительный закон	коммутативность
	распределительный закон	дистрибутивный закон, дистрибутивность

Теорема 2.8 (свойства операции умножения матриц).

1). Умножение матриц ассоциативно .

2). Умножение матриц связано с операцией сложения матриц дистрибутивными (распределительными) законами и .

3). и для любой матрицы размера  .

4). и для любых матриц и размера и .

5). .

(Левая и правая части каждого из равенств существуют одновременно.)

Доказательство. 1). Несложно убедиться в том, что любое из произведений и существует только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы и число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Пусть , и – матрицы размера , и .

Произведение имеет элементы вида: , а произведение матриц имеет элементы вида: . В силу распределительного закона для сложения и умножения чисел, сочетательного закона для умножения чисел и переместительного закона для сложения чисел, эти элементы равны между собой:

.

Таким образом, .

2). Элементами матрицы являются числа , а элементами матрицы — числа . Поэтому равенство вытекает из числового тождества . Равенство доказывается аналогично.

3). Для того чтобы понять, что происходит при умножении скалярной матрицы на матрицу , рассмотрим произведение i‑ой строки матрицы на ‑ый столбец матрицы :

.

Таким образом, .

Равенство доказывается аналогично.

4). Равенство 4) является частным случаем равенства 3).

5). Пусть , – матрицы размера , . Равенство означает, что элемент произведения с индексами равен элементу произведения с индексами . Для доказательства этого перемножим ‑ую строку матрицы , ‑ый столбец матрицы и соответствующие им ‑ый столбец матрицы , ‑ую строку матрицы :

и .

Первое произведение дает число на пересечении ‑ой строки и ‑го столбца, а второе – равное ему число на пересечении ‑ой строки и ‑го столбца, что доказывает требуемое равенство. ■

Замечание. В общем случае .

В самом деле, пусть , . Тогда

и .