§ 8. Обратная матрица

1. Определение и формула обратной матрицы. Напомним, что в алгебре матриц роль единицы играет единичная матрица . По аналогии с понятием обратного числа можно ввести понятие обратной матрицы.

Лемма 8.1. Пусть , и – квадратные матрицы одного порядка и – единичная матрица того же порядка. Если и , то .

Доказательство. . ■

Определение 8.2. Пусть – квадратная матрица порядка . Тогда квадратная матрица того же порядка называется обратной для матрицы , если . Обратная к матрица обозначается .

Лемма 8.1 показывает, что если матрица , обратная к , существует, то является единственной.

Теорема 8.3 (об умножении на чужие алгебраические дополнения). Пусть и – алгебраические дополнения элементов матрицы . Тогда:

a). если , то ;

b). если , то .

Доказательство. Докажем утверждение a). Пусть, например, , а  . Тогда нам нужно доказать равенство

Рассмотрим определитель , две первые строки которого совпадают и заметим, что по свойству 1 (см. §4) этот определитель равен нулю: . Кроме того, алгебраические дополнения элементов второй строки определителя совпадают с соответствующими алгебраическими дополнениями элементов матрицы . Раскладывая (по теореме 3.12) этот определитель по второй строке, получаем:

что и требовалось доказать.

Утверждение b) доказывается аналогично. Для доказательства достаточно разложить по -му столбцу определитель, в котором все столбцы, кроме -го, взяты из матрицы , а -ый столбец совпадает с -ым. ■

Определение 8.4. Квадратная матрица A порядка n называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: .

Теорема 8.5. Квадратная матрица A порядка n является невырожденной тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть определитель A не равен нулю: . Тогда  есть ненулевой минор наибольшего ранга в матрице A. Поэтому  .

И обратно, если , то в матрице A должен быть ненулевой минор порядка n. Но минор порядка n в ней только один – определитель и, следовательно,  . ■

Пусть – произвольная матрица порядка . Составим матрицу из алгебраических дополнений (см. определение 3.8.) элементов матрицы :

.

Затем транспонируем (см. определение 2.7.) полученную матрицу:

.

Определение 8.6. Матрица называется присоединенной для матрицы A.

Лемма 8.7. Для любой квадратной матрицы справедливы два равенства:

1) ,

2) .

Доказательство. Докажем равенство 1). Для доказательства того, что на главной диагонали произведения окажутся числа | | достаточно заметить, что

по теореме 3.12 (о разложении по строке). Остальные, не принадлежащие главной диагонали, элементы произведения равны нулю по теореме 8.3.

Равенство 2) доказывается аналогично. ■

Теорема 8.8. Если матрица невырождена, то обратная к ней матрица существует, единственна и ее можно вычислить по формуле:

. (44)

Доказательство. Используя лемму 8.7 для невырожденной матрицы  , получаем два равенства и . Согласно определению 8.2 отсюда следует, что матрица является обратной к матрице . Тем самым, существует.

Единственность обратной матрицы следует из леммы 8.1.

Формулу (44) можно записать в виде

или . (45)

Формулы (44), (45) называют формулами обратной матрицы.

В следующем параграфе мы докажем, что матрица существует тогда и только тогда, когда квадратная матрица A невырожденная. ■

2. Формула обратной матрицы для матриц порядка 2 и 3. Найдем алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы порядка 2: ; ; ; .

Пусть – определитель матрицы . По формуле обратной матрицы (45) при получаем: . Таким образом, при переходе к обратной матрице элементы главной диагонали переставляются, а элементы побочной диагонали остаются на месте, но меняют свой знак.

Пусть – невырожденная матрица порядка 3. Тогда формула обратной матрицы приобретает вид: где – определитель матрицы

Пример 8.9. Вычислить , если

Для того чтобы вычислить обратную матрицу, нужно составить матрицу из алгебраических дополнений, транспонировать ее, а потом каждый элемент транспонированной матрицы разделить на определитель исходной матрицы.

Создаем шаблон: который нам предстоит заполнить.

1. Вычисляем алгебраические дополнения элементов первой строки данной матрицы и записываем их в первый столбец этого шаблона: .

Определитель данной матрицы равен произведению первой строки данной матрицы на первый столбец присоединенной матрицы .

2. Вычисляем алгебраические дополнения элементов второй строки данной матрицы и записываем их во второй столбец обратной матрицы: .

3. Вычисляем алгебраические дополнения элементов третьей строки данной матрицы и записываем их в третий столбец обратной матрицы:

4. Чтобы умножить матрицу на число умножаем каждый элемент этой матрицы на Отсюда