§ 4. Свойства определителей.

1. Основные свойства определителей. Теория определителей является важным разделом линейной алгебры. При­чина этого отчасти заключается в большом количестве приложений теории определителей в различных областях математики. Значимость понятия определителя n‑го порядка обусловлена не только многочисленностью приложений, но и наличием эффективных методов вычисления определителей. Определители обладают замечатель­ными свойствами, которые, как будет показано ниже, облегча­ют вычисление определителей.

Сформулированная ниже теорема показывает, что для каждого свойства строк определителя существует аналогичное свойство столбцов, и наоборот.

Теорема 4.1 (свойство равно­правности строк и столбцов). Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы: .

Эта теорема, а также свойства 1–4, будут доказаны в §4.

Свойство 1. Определитель, две строки (два столбца) которого одинаковы, равен нулю.

Свойство 2. Пусть каждый элемент i-ой строки (столбца) определителя п-го порядка есть сумма двух слагаемых:

.

Тогда опре­делитель равен сумме двух определителей того же порядка, при­чем в одном определителе i-я строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых. Остальные строки (столбцы) того и другого определителя те же, что и в определите­ле . Иначе говоря,

.

Свойство 3. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя п-го порядка умножить на одно и то же число k, то значение определителя умножится на k.

Свойство 3 можно сформулировать следующим образом.

Свойство 3б. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя п-го порядка обладают общим множителем, то его можно вынести за знак определителя.

Пример. .

Мы здесь вынесли за знак определителя общий множитель всех элементов второй строки.

Свойство 4. Определитель п-го порядка не меняет своего значения, если к какой-либо его строке (столбцу) прибавить другую его строку (столбец), умноженную на некоторое число.

Доказательство. Прибавим к -ой строке определителя

его -ую строку, умноженную на некоторое число . В результате получим новый определитель

Легко видеть, что каждый элемент -ой строки определителя являет­ся суммой двух слагаемых. Отсюда по свойству 2

Первый определитель этой суммы есть , а второй равен нулю, так как две его строки пропорциональны. Следовательно, , что и требовалось доказать. ■

Свойство 5. Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный, а по абсолютной величине не изменится.

Доказательство. Пусть

.

Подвергнем матрицу следующим преобразованиям. Прибавим к ее -ой строке -ю ее строку и получим новую матрицу . При этом по свойству 4 определители матриц и равны:

В новой матрице из -й строки вычтем -ю строку. Получим матрицу  , определитель которой по свойству 4 равен определителю матрицы  :

Далее, прибавим к -й в определителе матрицы строке -ю строку. Получим еще один определитель, равный предыдущему:

.

Все эти преобразования по свойству 4 не изменяют значения определителя. Следовательно,

Наконец, вынося ( ) за знак определителя, по свойству 3 имеем:

В силу двух предыдущих равенств

,

что и требовалось доказать. ■

Определение 4.2. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

I. Элементарное преобразование строк первого типа – перестановка двух строк местами.

II. Элементарное преобразование строк второго типа – прибавление к одной из строк матрицы другой ее строки, умноженной на число.

III. Элементарное преобразование строк третьего типа – умножение одной из строк матрицы на ненулевое число.

Свойства 3–5 можно объединить в следующую теорему.

Теорема 4.3.

I. При преобразовании первого типа определитель меняет свой знак.

II. Преобразование второго типа не изменяет значение определителя.

III. В случае преобразования третьего типа определитель умножается на то число, на которое была умножена его строка.

Свойство 6. Определитель, элементы двух строк (столбцов) которого соответственно пропорциональны, равен нулю.

Доказательство этого свойства несложно и предлагается читателю в качестве упражнения.

Напомним, что матрица называется верхнетреугольной, если под ее главной диагональю расположены только нули.

Свойство 7. Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали:

Свойство 7 будет доказано ниже в пункте 6.

Свойства 1–7 значительно упроща­ют вычисление определителей.

Свойство 8. Если определитель содержит нулевую строку или нулевой столбец, то он равен нулю.

Доказательство. Пусть, для определенности, i‑ая строка определителя является нулевой. Тогда по свойству 3 получаем:

. ■

Свойство 9. Определитель единичной матрицы равен единице:

Доказательство. Данное свойство вытекает из свойства 7 как частный случай. ■

Определитель Вандермонда. Квадратная матрица, элементы которой задаются равенством или , называется матрицей Вандермонда, а ее определитель – определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда порядка имеет вид:

Пользуясь свойствами определителей и принципом математической индукции можно доказать, что определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей , где :

(13)

Так, например, определитель Вандермонда порядка 4 равен:

Из формулы (13) следует, что определитель Вандермонда отличен от нуля тогда и только тогда, когда все числа ( ) попарно различны.

2. Перестановки. Изложение теории определителей требует введения ряда вспомогательных понятий. Напомним, что число (читается «эн-факториал») — это произведение всех натуральных чисел от единицы до :

.

Множество , состоящее из первых натуральных чисел, будем обозначать записью .

Определение 4.4. Последовательность натуральных чисел от 1 до включительно, выписанных в произвольном порядке, но без повторения чисел, будем называть перестановкой степени .

Дадим более общее определение. Перестановка набора различных объектов — это переупорядочение этих объектов. Если этот набор состоит из объектов, то говорят, что перестановки на этом наборе имеют степень .

Далее мы будем заниматься перестановками на множестве первых натуральных чисел, но сначала приведем пример перестановок букв.

Пример 4.5. Рассмотрим восемь первых букв алфавита АБВГДЕЖЗ, записанных в алфавитном порядке. Выпишем некоторые из перестановок этих восьми букв:

ДАЖЗЕВГБ, БВЗАЖЕГД, ЗБВАЖГДЕ, ДВАЖЗБЕГ.

Сколько подобных перестановок существует?

Ответ на этот вопрос может показаться неправдоподобным тому, кто столкнулся с подобной задачей в первый раз.

Для первой буквы существует восемь вариантов выбора, семь вариантов остается для второй буквы (после того, как первая была выбрана), шесть – для третьей (после того, как первые две буквы были выбраны), и т. д. Поэтому число всевозможных перестановок равно

.

Аналогичные рассуждения с заменой числа на произвольное число приводят к следующему наблюдению: число перестановок -ой степени равно  . В самом деле, из п чисел 1, 2, ..., п можно составить всего перестановок.

Пример 4.6. Из трех чисел 1, 2, 3 можно составить всего 3! = 6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213.

Среди написанных шести перестановок выделяется первая, 123 — в ней числа идут в естественном порядке возрастания. В остальных пе­рестановках этот порядок нарушен. Возьмем, например, переста­новку 213. Мы видим, что число 2 стоит левее числа 1. Такое яв­ление, когда большее число находится левее меньшего, будем называть нарушением порядка, беспорядком или инверсией.

Определение 4.7. Числа и образуют инверсию в перестановке ( ), если стоит в ней левее числа , но . Инверсию будем записывать в виде неравенства в скобках ( ). Перестановка называется четной, если число всех инверсий в ней четно, и называется нечетной, если число всех инверсий в ней нечетно.

Например, в перестановке 2, 1, 3 имеется только одна инверсия ( ), поэтому эта перестановка нечетная.

Рассмотрим далее перестановку 3, 1, 2. Заметим, что эта перестановка является четной, так как имеет две инверсии: число 3 стоит левее двойки и левее единицы.

Перестановка 3, 2, 1 содержит три инверсии и поэтому будет нечетной.

2. Метод определения числа инверсий в перестановке. Прежде всего находим, сколько чисел в перестановке стоит левее 1; затем подсчитываем, сколько чисел, больших, чем 2, стоит слева от 2; далее определяем, сколько чисел, больших числа 3, стоит впереди 3, и т. д.

Для того чтобы не ошибиться, после подсчета чисел слева от единицы вычеркиваем число 1; после подсчета чисел, больших 2, вычеркиваем 2, на следующем этапе вычеркиваем 3, и т. д. При таком подходе на каждом этапе определяется количество чисел, расположенных слева от данного числа, при этом зачеркнутые числа не учитываются.

Пусть в данной перестановке слева от 1 находится чисел, впереди 2 — невычеркнутых чисел, и т. д. и, наконец, левее, чем имеется невычеркнутых чисел. Тогда общее число инверсий в рассматриваемой перестановке равно .

Пример 4.8. Подсчитать число инверсий в перестановке 4 1 5 3 6 2.

Слева от 1 стоит только число 4, . Зачеркиваем 1. Получаем запись:

Левее числа 2 стоят четыре невычеркнутых числа (4, 5, 3 и 6), . Зачеркиваем 2. Получаем запись:

Впереди 3 находятся два невычеркнутых числа (4 и  5), . Зачеркиваем 3. Имеем:

Слева от 4 вообще ничего нет, . Зачеркиваем 4:

Слева от 5 невычеркнутых чисел нет, . Зачеркиваем 5:

Следователь­но, искомое число инверсий равно

3. Подстановки. Хотя определители произвольного порядка можно было бы ввести на основе понятия перестановки, для более подробного изучения определителей потребуется еще несколько вспомогательных понятий.

Определение 4.9. Подстановкой из элементов 1, 2, ..., n, или подстановкой -ой степени, называется взаимно однозначное отображение множества на себя.

Обычно подстановку обозначают символом

. (14)

Это означает, что , , ..., . Например,

(15)

есть подстановка четвертой степени, которая заменяет 1 на 4, 3 на 1, 4 на 3 и оставляет 2 неизменным.

Если , то число будем называть перемещаемым символом перестановки . Если , то число будем называть неподвижным символом перестановки .

Определение 4.10. Назовем подстановку (14) четной, если ее нижний ряд ( ) образует четную перестановку, и нечетной, если ее нижний ряд чисел образует нечетную перестановку. Знак подстановки — это число , равное 1, если подстановка четная, и , если она нечетная. Легко видеть, что , где — число инверсий в нижней строке подстановки .

Пример. Подстановка (15) является четной, поскольку перестановка (4, 2, 1, 3) имеет четыре инверсии.

Множество всех подстановок -ой степени обозначается и называется симметрической группой степени  . Среди всех подстановок степени  выделим тождественную подстановку , являющуюся четной, поскольку ее нижний ряд не содержит инверсий.

Если верхний ряд чисел в подстановке располагать в естественном порядке, то различные подстановки -ой степени должны иметь в нижней строчке записи (14) различные перестановки из чисел. Поэтому количество всех подстановок -й степени равно числу всех перестановок на множестве из п чисел, т. е. равно .

Мно­жество всех подстановок -ой степени  разбивается на два подмножества — на множество четных и на множество нечетных подстановок, причем число четных подстановок и число нечетных подстановок равно .

Определение 4.11. Произведением подстановок и степени назы­вается подстановка -ой степени , отображающая множество на себя по пра­вилу , где . Иначе говоря, произведение подстановок – это их композиция как функций.

Так как для всех , то тождественная подстановка обладает следующим свойством:

и для всех . (16)

Иначе говоря, тождественная подстановка играет роль единицы для операции умножения подстановок. В дальнейшем мы будем ссылаться на равенство (16) как на свойство тождественной подстановки.

Определение 4.12. Транспозицией называется такая подстановка, которая отображает каждый из символов в себя, за исключе­нием двух символов и , для которых , .

Лемма 4.13. Умножение подстановки на транспозицию справа переставляет числа и в верхней строке записи . Умножение подстановки на транспозицию слева переставляет числа и в нижней строке записи подстановки .

Доказательство. Утверждение леммы легко доказывается при помощи двух следующих диаграмм:

и . ■

Ввиду предыдущей леммы представляется целесообразным определить действие транспозиции на перестановке как операцию перемещения двух элементов местами.

Определение 4.14. Действие транспозиции на перестановке состоит в том, что числа и в перестановке меняются местами, а остальные числа остаются на прежнем месте. Иначе говоря, операция перемещения двух элементов и перестановки местами называется транспозицией.

Теорема 4.15. Транспозиция двух элементов меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство. Рассмотрим сначала тот случай, когда числа и расположены в данной перестановке рядом, т.е. перестановка имеет вид ( ), и докажем, что четность перестановки меняется, если транспозиция переставляет в ней соседствующие символы. В результате транспозиции получается перестановка ( ). Очевидно, что в этих двух перестановках числа и составляют одни и те же инверсии с другими числами, отличными от и . Если , то числа и не составляли инверсии в старой перестановке, в новой перестановке возникает одна новая инверсия ( ). Если , то числа и составляли инверсию в старой перестановке, в новой перестановке эта инверсия исчезает. И в том, и в другом случае транспозиция соседних символов меняет четность перестановки.

Рассмотрим теперь тот случай, когда между числами и в перестановке расположено других чисел, т.е. перестановку вида

( ). (17)

В этом случае транспозицию чисел и можно получить в результате последовательного выполнения транспозиции соседних символов. В самом деле, переставим сначала местами числа и , затем и , потом и , и т. д. Иначе говоря, выполним транспозицию , , …, , , как это показано на рисунке 7.

Рис. 7

В результате получим перестановку ( ). Далее передвинем число на позиций влево, совершив еще транспозиций , , …, , как это продемонстрировано на рисунке 8.

Рис. 8

В результате получим перестановку

( ), (18)

получающуюся из исходной транспозицией . Выполнив транспозицию соседних элементов, мы нечетное число раз меняли четность перестановки. Следовательно, перестановки (17) и (18) имеют противоположные четности. ■

Отметим, что порядок записи элементов первой строчки обозначения подстановки несуществен. Так, подстановку (15) можно записать и в таком виде:

.

Таким образом, две перестановки -й степени, записанные одна под другой, также образуют подстановку. Как можно определить четность записанной так подстановки?

Переход от одной записи перестановки к другой ее записи можно осуществить, несколько раз переставляя местами пары ее столбцов. Переставляя местами два столбца в подстановке, мы одновременно меняем четность верхней и нижней перестановок в подстановке. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Лемма 4.16. Для данной подстановки верно одно из двух:

1) либо в любой форме ее записи четность верхней и нижней строк в ней совпадают;

2) либо в любой форме ее записи четность верхней и нижней строк в ней являются противоположными.

В первом случае подстановка будет четной, а во втором — нечетной.

Следствие 4.17. Знак всякой подстановки равен , где – количество инверсий в верхней строке подстановки, а – количество инверсий в нижней строке подстановки.

Лемма 4.18. Если подстановка разлагается в произведение транспозиций, то ее четность равна четности числа . Поэтому знак подстановки, разложенной в произведение транспозиций, равен  .

Доказательство. Пусть . Тогда по свойству тождественной подстановки (16) справедливо равенство:

.

Лемма 4.13 показывает, что каждое умножение на одну транспозицию слева приводит к перемене местами двух символов нижнего ряда подстановки. Поэтому, в силу теоремы 4.15, каждое такое умножение изменяет четность перестановки, расположенной в нижней строке подстановки, на противоположную. Так как верхний ряд остается неизменным, то в силу леммы 4.16 каждое умножение на транспозицию меняет четность подстановки на противоположную. Теперь ясно, что четность постановки меняется раз, если ее умножить на транспозиций слева. Для завершения доказательства осталось заметить, что тожественная подстановка является четной. ■

Определение 4.19. Пусть — попарно различные натуральные числа, не превосходящие числа . Подстановка называется циклом, если , , , …, , , а на остальных числах из подстановка действует тождественно, т.е. при . Число называется длиной цикла , а множество — множеством цикла .

Для цикла длины принята следующая сокращенная форма записи: . В этой записи перемещаемые символы записываются один за другим в том порядке, в каком они переходят друг в друга под действием цикла. Графически цикл можно изобразить, как это показано на рисунке 9.

Рис. 9

Два цикла и называются независимыми, если они не имеют общих перемещаемых чисел. Иначе говоря, два цикла называются независимыми, если пересечение их множеств пусто.

Отметим, что все транспозиции являются циклами длины 2.

Теорема 4.20. Любая подстановка единственным образом разлагается в произведение попарно независимых циклов.

Подчеркнем, что слова «произведение попарно независимых циклов» означают, что никакие два цикла из этого произведения не имеют в своей сокращенной записи общих чисел. Легко видеть, что произведение независимых циклов не зависит от порядка следования сомножителей.

Сначала продемонстрируем метод разложения подстановки в произведение независимых циклов на примере.

Пример 4.21. Разложим в произведение независимых циклов подстановку

Берем любое перемещаемое число, например, и многократно применяем к этому числу подстановку , пока снова не получим первое число : , , . При этом записываем получающиеся числа в цикл: ( ).

После завершения первого цикла берем любое перемещаемое число, не вошедшее в запись цикла. Пусть в нашем примере это будет число 2. Строим второй цикл: , , . Получился цикл ( ).

Отнюдь не все перемещаемые символы вошли в два найденных цикла, например, не вошло число 4. Поэтому начинаем строить цикл с этого числа:

, .

Получилась транспозиция ( ). На этом все перемещаемые символы подстановки исчерпаны (в три найденных цикла не вошло лишь неподвижное число ).

Итак, ( ) ( ) ( ).

Доказательство теоремы 4.20. Пусть — подстановка степени  . Для каждого натурального числа рассмотрим множество , называемое орбитой подстановки . Если орбита  на самом деле содержит только один элемент , то — неподвижный элемент подстановки .

Перейдем к случаю, когда содержит более одного элемента. Так как множество конечно, то существуют числа и такие, что , то есть . Поскольку отображение взаимно однозначно, отсюда вытекает, что . Пусть – наименьшее такое число. Тогда — цикл.

Если орбита пересекается с другой орбитой, то эти две орбиты совпадают. В самом деле, пусть , , принадлежит другой орбите . Тогда число также принадлежит орбите . Но тогда . Аналогично, . Поэтому орбиты и совпадают.

Заметим теперь, что если — соответствующий орбите цикл, то для любого элемента этой орбиты будет выполнено равенство . Действительно, для некоторого , и поэтому .

Пусть – все попарно различные орбиты подстановки и — соответствующие им циклы. Тогда , где — множество неподвижных символов. Для любого числа справедливо равенство , поскольку циклы, отличные от , оставляют символ на месте. Для любого неподвижного символа также выполнено равенство , ведь символ не входит в запись циклов . Значит, равенство верно для всех , и поэтому . ■

Лемма 4.22. Всякий цикл длины раскладывается в произведение  транспозиции

и, следовательно, четность всякого цикла длины равна четности числа  . Таким образом, цикл нечетной длины четен, а цикл четной длины нечетен.

Доказательство. Пусть . Покажем, что

. (19)

Рассмотрим в подстановке лишь столбцы, соответствующие перемещаемым элементам:

. (20)

По свойству тождественной подстановки имеем:

.

По лемме 4.13 нижняя строка этого произведения получается из перестановки смещением числа на позицию вправо и, следовательно, совпадает с перестановкой, записанной в нижней строке подстановки (20). Поэтому справедливо равенство (19) и в силу следствия 4.17 четность цикла равна . ■

Следствие 4.23. Любая подстановка разлагается в произведение транспозиций.

Это утверждение следует из двух предыдущих результатов. Впрочем, оно само по себе достаточно очевидно.

Теорема 4.24. Четность произведения

(21)

нескольких подстановок равна четности числа нечетных сомножителей в этом произведении и, следовательно,

. (22)

Доказательство. Разложим каждый из сомножителей в произведение транспозиций. В результате этого получим разложение подстановки на транспозиции, в котором общее число транспозиций будет равно сумме . Эта сумма будет четной, если число нечетных слагаемых в ней четно, и нечетной, если оно нечетно. Как утверждает лемма 4.18, четность каждого из слагаемых совпадает с четностью соответствующей ему подстановки. Поэтому четность суммы зависит от количества нечетных сомножителей в произведении (21). Снова используя лемму 4.18, получаем, что четность подстановки равна четности числа нечетных сомножителей в произведении (21).

Для доказательства равенства (22) напомним, что по лемме 4.18 знак подстановки, разложенной в произведение транспозиций, равен . Отсюда,

. ■

Разложение в произведение независимых циклов предоставляет нам новый, более простой, метод вычисления четности подстановки. Разложим подстановку в произведение независимых циклов. Пусть — число циклов нечетной длины среди них. Тогда четность данной подстановки совпадает с четностью числа .

Пусть – число независимых циклов и — число неподвижных элементов для данной подстановки степени . Тогда разность называется декрементом подстановки .

Теорема 4.25. Четность любой подстановки равна четности ее декремента.

Доказательство. Докажем, что всякую подстановку степени можно разложить в произведение транспозиций, где — декремент . Тогда утверждение теоремы будет следовать из леммы 4.18.

Пусть подстановка разлагается в произведение независимых циклов, длины которых равны ,  , …,  . По лемме 4.22 цикл длины представляется в виде произведения транспозиции. Следовательно, рассматриваемая подстановка разлагается на

транспозиций, где — число перемещаемых символов. Так как , то количество транспозиций в разложении равно , что и требовалось доказать. ■

Так как всякая подстановка является взаимно однозначным отображением множества на себя, то для каждой подстановки степени существует обратная подстановка , обладающая следующим свойством:

и для всех . (23)

Несложно заметить, что обратную подстановку можно получить, переставив местами строки подстановки :

если , то .

Пример 4.26. Пусть . Тогда . Это применимо при любой форме записи подстановки: если , то можно записать .

Теорема 4.27. Число инверсий в перестановке равно числу инверсий в обратной ей перестановке. Четность и знак подстановки равны четности и знаку обратной ей подстановки .

Доказательство. Данная теорема непосредственно следует из леммы 4.16 и следствия 4.17.

4. Понятие определителя высшего порядка. Изучение формул определителей порядка 2 и 3 дает возможность ввести понятие определителя любого порядка. Напишем формулы определителей второго и третьего порядка в обозначении с двойными индексами:

,

и заметим, что всякий член определителя второго порядка является произведением двух элементов, находящихся в разных строках и разных столбцах матрицы (таких произведений можно составить только два).

Аналогично, каждый член определителя третьего порядка есть произведение трех элементов матрицы, выбранных так, что никакие два элемента не расположены ни в одной строке, ни в одном столбце. Для матрицы порядка 3 таких произведений можно составить только 6, и все они используются в формуле определителя. Правило треугольников или правило Саррюса помогало выбрать все подобные тройки и уточняло знак +1 или , с которым соответствующее произведение присутствует в формуле определителя.

Оказывается, что этот знак равен знаку подстановки , которая определяется тремя выбранными элементами матрицы следующим образом: если выбран элемент на пересечении ‑ой строки и ‑го столбца, то . Иначе говоря, произведение берется со знаком подстановки

.

Поясним это на примере. Найдем подстановку, соответствующую члену  :

.

В формуле определителя произведение присутствует со знаком « – », поскольку подстановка является нечетной.

Рассмотрим теперь квадратную матрицу

порядка и, используя накопленный опыт с определителями порядка 2 и 3, введем понятие определителя -го порядка.

Выберем в матрице любые элементов

(24)

таким образом, чтобы в каждой строке и каждом столбце находилось ровно по одному выбранному элементу. Тогда набор индексов образует подстановку

.

Можно заметить и обратное. Каждой подстановке степени соответствует набор элементов расположенных по одному в каждой строке и каждом столбце матрицы . Таким образом, наборы вида (24) и подстановки -ой степени находятся во взаимно однозначном соответствии.

Выбранным элементам (24) сопоставим произведение

, (25)

если подстановка четна, и произведение со знаком «минус»

(26)

если подстановка нечетна.

Так как при , то произведения (25) и (26) можно выразить одной формулой.

. (27)

Изучая формулы определителей порядка 2 и 3, мы заметили, что четным подстановкам соответствуют произведения со знаком «плюс», а нечетным – со знаком «минус». Кроме того, в формулах определителей присутствуют всевозможные произведения элементов (27), расположенных в разных столбцах и разных строках. Число таких произведений равно числу подстановок порядка , то есть равно . Эти две закономерности мы используем в следующем определении.

Определение 4.28. Определителем (или детерминантом) квадратной матрицы порядка называется алгебраическая сумма

(28)

всевозможных произведений элементов матрицы, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы . Знак каждого члена в этой сумме равен , где – число инверсий в подстановке

.

Определитель квадратной матрицы записывается как  или  .

Так как наборы элементов (24) находятся во взаимно однозначном соответствии с подстановками -ой степени, то суммирование членов определителя ведется по всем подстановкам . Поэтому равенство (28) можно переписать в виде

. (29)

5. Доказательство свойств определителей. Данный пункт посвящен доказательству тех свойств определителей высших порядков, которые не были доказаны ранее.

Докажем, что при транс­понировании матрицы значение ее определителя не изменяется: , т. е. что определитель n‑го порядка не изменится, если его строки заменить столбцами, сохраняя порядок следования.

Элементы матрицы можно определить по формуле

. (30)

Доказательство теоремы 4.1. Нам надо доказать равенство определителей

и .

По определению получаем их разложения в алгебраическую сумму:

, (31)

и . (32)

По формуле (30) любой член определителя можно переписать в виде

.

Заметим, что подстановка является обратной к подстановке , . Поэтому

.

Следователь­но, каждый член определителя есть вместе с тем и член определителя  . Так как в силу теоремы 4.27 знак обратной подстановки совпадает со знаком исходной , то член входит в алгебраическую сумму (31) с тем же знаком, с которым элемент входит в алгебраическую сумму (32). Таким образом,

.

Так как , то точно так же убе­ждаемся, что всякий член определителя является и чле­ном определителя . Отсюда следует, что . ■

Только что доказанная теорема важна в следующем отноше­нии. Пусть для строк любого определителя име­ет место некоторое свойство  P. Тогда можно быть уверенным, что свойство P верно и для столбцов любого определителя. В самом де­ле, по теореме 4.1 мы можем, не изменяя значения определителя, транспони­ровать матрицу , после чего столбцы станут строками, а строки — столбцами. При этом свойство P будет верно для столбцов определителя матрицы в силу того, что оно верно для строк матрицы .

По этой причине свойство, доказанное в теореме 4.1, иногда называется свойством равно­правности строк и столбцов определителя.

Свойство 1. Определитель, две строки (два столбца) которого одинаковы, равен нулю.

Доказательство. Пусть -я и -я строки определителя n‑го порядка одинаковы:

, ,…, .

Рассмотрим произвольный член определителя

. (33)

Наряду с этим членом в определитель входит член

, (34)

соответствующий подстановке , отличающейся от подстановки на транспозицию , . Абсолютная величина члена (33) равна абсолютной величине члена (34), однако знаки членов (33) и (34) противоположны. Поэтому члены (33) и (34) должны в определителе взаимно уничтожаться. Таким образом, все члены определителя попарно взаимно уничтожаются, вследствие чего . ■

Справедливость свойства 1 для столбцов следует из равноправия строк и столбцов определителя.

Свойство 2. Пусть каждый элемент i-ой строки (столбца) определителя п-го порядка есть сумма двух слагаемых:

.

Тогда опре­делитель равен сумме двух определителей того же порядка, при­чем в одном определителе i-я строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых. Остальные строки (столбцы) того и другого определителя те же, что и в определите­ле . Иначе говоря,

.

Доказательство. Пусть

и ,

и пусть в матрице каждый элемент i-ой строки есть сумма двух слагаемых:

.

Требуется доказать, что .

Раскрывая скобки в каждом слагаемом определителя и группируя затем члены, получаем цепочку равенств

. ■

Свой­ство 2 нетрудно распространить на случай любого числа слагаемых.

Свойство 3. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя п-го порядка умножить на одно и то же число k, то значение определителя умножится на k.

Доказательство. Умножим, например, элементы -ой строки определителя на число . Если до умножения каждый член определителя имел вид:

,

то после умножения он примет вид:

,

т. е. умножится на . Знак члена после умножения остается тем же. Поэтому

.

Лемма 4.29. Если подстановка отлична от тождественной подстановки , то хотя бы для одного числа .

Доказательство. Предположим противное: для всех . Так как , то для некоторого числа . Тогда и для всех , и поэтому сумма чисел в нижнем ряду подстановки превосходит сумму чисел в ее верхнем ряду:

.

Однако последнее неравенство неверно, так как его левая часть получается из правой перестановкой слагаемых местами.

Полученное противоречие доказывает, что для некоторого числа . ■

Свойство 7. Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Доказательство. Пусть – верхнетреугольная матрица. По лемме 4.29 все члены алгебраической суммы

,

кроме члена , соответствующего тождественной подстановке , содержат в качестве сомножителя хотя бы один нулевой элемент ( , ), расположенный под главной диагональю, и поэтому равны нулю. ■

Свойство 8. Определитель единичной матрицы равен единице:

Доказательство. Алгебраическая сумма, в которую раскладывается определитель , содержит только одно ненулевое слагаемое , соответствующее тождественной подстановке , которая, как мы знаем, является четной. Поэтому . ■

6. Доказательство теоремы о разложении определителя по строке и столбцу. Мы будем использовать перестановки на множестве {1, 2, …,  ,  , …,  }. Тогда выражение минора принимает вид:

, (35)

где – некоторая перестановка чисел . В первых индексах элементов членов суммы (35) нет числа , а во вторых индексах отсутствует номер , поскольку минор не содержит -ой строки и -го столбца матрицы . Суммирование в сумме (35) ведется по всем перестановкам на множестве {1, 2, …,  ,  , …,  }. В минор каждый член входит со знаком , где – число инверсий в перестановке .

Теперь мы можем доказать теорему 3.14. Напомним ее формулировку.

Пусть в квадратной матрице порядка все элементы -ой строки ( -го столбца), кроме , равны нулю. Тогда ее определитель равен произведению , где – алгебраическое дополнение элемента  .

Доказательство теоремы 3.14. Рассмотрим произвольную подстановку в формуле (см. определение 4.28)

. (36)

Пусть, для определенности, все элементы -ой строки, кроме , определителя равны нулю. Тогда все слагаемые алгебраической суммы (36), кроме членов вида

(37)

равны нулю. Иначе говоря, ненулевые слагаемые в определителе могут соответствовать только тем подстановкам, для которых .

Отсюда

,

.

С другой стороны, из разложения минора (35) следует равенство:

. (38)

Если в произведении (37) удалить сомножитель , то получится один из членов

(39)

минора . Следовательно, каждый член определителя является членом разложения (38) произведения . Так как каждому члену минора соответствует подстановка

на множестве {1, 2, …, }, удовлетворяющая условию , то верно и обратное: каждый член в разложении (38) произведения является членом определителя . (Иначе говоря, каждый член алгебраической суммы будет также и членом самого определителя , так как является произведением элементов , взятых по одному и только по одному из каждой строки и столбца определителя .)

Таким образом, для доказательства теоремы осталось убедиться в том, что член входит в определитель с тем же знаком, что и в разложение (38). В разложение определителя этот член входит со знаком , а в разложение произведения со знаком .

Докажем равенство , где – число инверсий в перестановке . Запишем подстановку в виде

. (40)

Число s инверсий в верхней строке подстановки

(41)

равно . Действительно, числа 1, 2, ..., меньше чем , в перестановке (41) находятся левее и потому не образуют инверсию с . Остальные чис­ла ..., п, хотя и расположены левее числа , но больше . Следовательно, каждое из этих чисел находится в инверсии с .

Число инверсий во второй строке подстановки (40) равно . Действительно, где-то среди чисел имеются числа ..., п, каждое из которых образует инверсию с числом . Что касается 1, 2, ...,  , то эти числа не образуют инверсии с . Таким образом, число образует с остальными числами инверсий. Количество инверсий во второй строке подстановки (40), образованных без участия числа , равно числу r. Следовательно, число инверсий в подстановке (46) равно и поэтому

Итак, в определитель член входит с тем же самым знаком, что и в произведение . ■

В §3 мы ввели понятие определителя n-го порядка, рассмотрели его основные свойства и сформулировали теорему 3.12 о разложении определителя по строке (столбцу). Напомним ее формулировку.

Для каждой строки (и каждого столбца) определителя порядка справедливо следующее утверждение. Определитель равен сумме произведений элементов этой строки (этого столбца) на их алгебраические дополнения:

, ; (42)

, . (43)

Доказательство теоремы 3.12. В силу свойства равноправности строк и столбцов достаточно доказать формулу (42).

Разложим матрицу в сумму матриц, в ‑ой строке которых содержится только по одному ненулевому элементу  :

Тогда по свойству 2 (см.§ 3) определитель раскладывается в сумму определителей:

.

По теореме 3.14 в правой части равенства первый определитель в этой сумме равен , второй – , и т.д., последний определитель суммы равен . Следовательно, справедливо равенство (42). ■