11. Скалярное произведение векторов.

Определение 1: Скалярным произведением двух

ненулевых векторов называется число, равное

произведению модулей векторов – сомножителей

на косинус угла между ними:

( a, b ) = a * b = | a | * | b | cos

Определение 2: скалярное произведение двух

векторов равно модулю одного из них, умноженному

на проекцию второго вектора на первый:

( a, b ) = | a | * npab = | b | * npba

Свойства скалярного произведения:

1. ( a, b ) = ( b, a )

2. ( a, b + c ) = ( a, b ) + ( a ,c )

3. ( a, b) = ( a, b )

4. a * a = a = | a |

Скалярное произведение в координатной форме:

1.| a | = x1 + e1 + z1

( a, b ) x1x2 + y1y2 + z1z2

2. cos | a | *| b | x1 + y1 + z1 * x2 + y2 + z2

( a, b ) x1x2 + y1y2 + z1z2

3. Проекция вектора а на вектор b: прba = | b | x2 + y2 + z2

12. Векторное произведение векторов.

Определение: Векторным произведением векторов

a и b называется вектор c = a * b = [a,b], удовлетворяющий

трем условиям: 1. a_b , c_b 2. |c| = |a|*|b|* (a,^b)

3. a,b,c – правая тройка

Свойства векторного произведения:

1. [a,b] = - [b,a] 2. [ a,b] = [a,b]

3. [a + b,c] = [a,c] + [b,c] 4. Векторное произведение

двух ненулевых векторов есть нулевой вектор тогда

и только тогда, когда сомножители коллинеарны.

Векторное произведение в координатной форме:

[ i, j ] = k, [ j, i ] = - k

[ j, k ] = i [ k, j ] = - i

[ k, I ] = j [ I, k ] = - j

13. Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным произведением трех векторов

а, b, с, называется число, равное скалярному произведению

векторов а b на вектор c. Смешанное произведение

обозначается: ( a,b,c ) = ( |a,b|, c ).

Свойства смешанного произведения:

1.Операции скалярного и векторного умножения

в смешанном произведении можно менять местами:

( a * b ) * c = a * ( b * c ). 2. Круговая перестановка

трех сомножителей смешанного произведения не

меняет его величину. Перестановка же двух соседних

сомножителей меняет знак произведения на противоположный:

(a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b.a)

2.Для того, чтобы вектора a,b,c были компланарны,

необходимо и достаточно, чтобы (a,b,c) = 0

Смешанное произведение в координатной форме:

Смешанное произведение равно определителю 3-его

порядка, строками которого являются координаты векторов.

x1 y1 z1

(a,b,c) = x2 y2 z2

x3 y3 z3

14. Уравнение прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой - Ax + By + C = 0,

где A,B,C – постоянные коэффициенты,

причем A + B = 0.Частные случаи:

1.C = 0, A = 0, B = 0. Прямая, определяемая

уравнением Ax + By = 0, проходит через начало координат.

2. C = 0, A = 0, B = 0. Прямая, определяемая

уравнением By + C = 0, параллельна оси Ох.

3. C = 0, A = 0, B = 0. Прямая, определяемая

уравнением Ax + C = 0, параллельна оси Оy.

2. Уравнение прямой с угловым

коэффициентом – y = kx + b, k = tg

3. Уравнение прямой в отрезках a + b = 1

4. Нормальное уравнение прямой x cos + y sin – p = 0

5.Уравнение прямой, проходящей через

две точки y2 – y1 = x2 – x1

6. Уравнение прямой проходящей через заданную

точку параллельно заданному направлению –

x – x1 y – y1

m = n k2 – k1

7. Острый угол между прямыми - tg = 1 + k1k2

Ax0 + By0 + C

8. Расстояние от точки до прямой – D = A + B

9. Уравнение пучка прямых A1x + B1y + C1 + (A2x + B2y +C2) = 0