4. Тригонометрические функции

Из определения тригонометрических функций вытекает, что cos z  –  чётная функция, а sin z  –  нечётная функция, так как

        Из определения же следует, что c o s z и   s i n z обладают периодом    , так как при изменении z на   аргументы показательных функций в правых частях формул изменяются на ±    –  величины периодов показательной функции, а значит значение функций не изменится.

        Можно показать, что все известные из тригонометрии соотношения для тригонометрических функций действительного аргумента сохраняются и в комплексной области. Однако свойство ограниченности функций уже не имеет место.

• Гиперболические функции

Из сравнения их с тригонометрическими функциями следует, что между тригонометрическими и гиперболическими функциями существуют следующие соотношения: ch z  = cos(i z), sh z  = - isin (i z), th z  = - i  tg (i z ), cth z  = i  ctg (i z).

Отсюда, в частности, вытекает, что

ch2 z - sh2 z = [cos(iz)]² +   [sin(iz)]² = 1.

6. Логарифмическая функция – функция, обратная показательной.

        Если значение логарифма, равное l n | z |  + i  аrg z , назвать главным значением и обозначить его l n  z  , то для Ln z будем иметь

 , где k  = 0, ± 1, ± z , … . Отсюда следует, что каждое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности, имеет бесконечное множество логарифмов (то есть значений логарифмической функции), из которых любые два различаются на целое, кратное  .

        Итак, логарифм имеет смысл для любого ненулевого комплексного числа, в частности и для отрицательных действительных чисел. Например,

 .

Правила логарифмирования произведения и частного сохраняют свою силу:

• Обратные тригонометрические функции

.

Понятие многозначной функции

Если каждому z соответствует лишь одно значение w , то функцию называют однозначной. Если некоторым z соответствует более чем одно значениеw , функцию называютмногозначной.

Например, w = zⁿ (n  –  натуральное)  –  однозначная функция, определённая на всей комплексной плоскости,  –  многозначная функция, также определённая на всей плоскости, так как при каждом z , отличном от нуля и бесконечности, радикал имеет n различных значений, которые задаются формулой

, где k  = 0, 1, 2, … , n  -  1.

        В некоторых случаях можно разбить область определения А многозначной функции w  = f (z ) на области A₁, A₂, A₃, ..., в которых функция является однозначной. Тогда функция  f (z ) представляется посредством нескольких (быть может бесконечно многих) однозначных функций f _k (z). Каждую из них называют однозначной ветвью функции  f (z ).

Функция w  = f (z ) может принимать одно и то же значение w вообще в нескольких (двух или более) точках области А. Такую функцию называют многолистной в области А. Если же в различных точках из А функция принимает различные значения, то она называется однолистной в А. Функции, обратные по отношению к многоместным, многозначны.

Р ассмотрим, например, функцию  , обратную по отношению к степенной функции w=zⁿ

(  –  натуральное чис-ло). Для каждого z , отличного от 0 и   , радикал имеет n различных значений (представляющих те точки плоскости w, в которых wⁿ принимает одно и то же значение z ), располагаемых в вершинах правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в начале координат (см. рис. 10).

Обратно: вершины любого правильного n -угольника с центром в начале координат можно рассматривать как n значений  . Поэтому область в плоскости w будет областью однолистности для w = zⁿ тогда и только тогда, когда из n вершин любого правильного многоугольника с центром в w  = 0 она содержит не более чем одну вершину.

Очевидно, этому условию удовлетворяет каждый угол раствора   с вершиной в начале координат.

Вся плоскость w , в которой определена многолистная функция z = wⁿ, разделяется на n областей однолистности B₁, B₂, ..., B_n. Каждая из областей B_k отображается на одну и ту же область А –  плоскость z с разрезом по некоторому лучу L , выходящему из начала координат.

Тогда в области А получено n однозначных ветвей функции   (см. рис. 11).

П ример 5. Найти значение функции   в точке z = -1 + i (рис. 12).

 Решение. Найдём модуль и аргумент числа z = -1 + i: .

Тогда

Таким образом, функция в данной точке принимает три значения (см. рис. 13).

Производная ФКП. Условия Коши-Римана

    Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции 

     Производная ФКП 

     Определение:

     Условия Коши-Римана существования производной функции 

     В этом случае

     Условия Коши-Римана в полярных координатах 

Понятие аналитической функции. Сопряженные гармонические функции

О: Однозначная функция w = (z) называется аналитической (регулярной, голоморфной) в т. если она дифферен-

цируема в некоторой окрестности точки Функция

w = (z) называется аналитической в области D если она аналитическая в каждой точке D.

Однозначные основные элементарные функции

 являются аналитическими в Z Примером дифференцируемой, но не аналитической в точке функции является Действительно,

т.е. условия Коши—Римана выполняются для только в

т. z = 0. Таким образом, она в этой точке дифференцируема, но не аналитическая.

Отметим, что аналитическая в D функция w = (z) имеет в D производные любого порядка [18. С. 125].

О: Функция двух переменных u(х, у), (х, у) D, называется гармонической в D, если имеет в D непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа:

Т: Действительная и мнимая части аналитической в D функции (z) являются гармоническими функциями

Для аналитической функции выполняются условия Коши— Римана (14.2). Продифференцируем первое равенство условий

по х, второе — по у:

Частные производные второго порядка существуют и непрерывны в силу существования производных любого порядка для аналитической функции, поэтому По определению u(х,у) —

гармоническая функция. Аналогично доказывается гармоничность v(х,у)

О: Две гармонические функции u(х, у), v(x, у) называются сопряженными гармоническими, если они связаны условиями Коши—Римана (14.2).

Т: Для всякой гармонической функции u(х, у), заданной в од-носвязной области D существует единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к ней функция v(x, у) такая, что (z) = u(х, у) + iv(x, у) — аналитическая в D

Если — точка аналитичности (z), то по известной гармонической функции u(х, у) можно найти (z), пользуясь формулой

С — действительная постоянная.

Пример: — гармоническая в Z Найти (z).

Пусть = (0,0). Тогда

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП

 

Пусть ФКП   определена в точках несамопересекающейся дуги  , расположенной в  –плоскости. Дуга   ориентирована от точки    к точке  , причем точка   соответствует  , точка    .

Рассмотрим произвольное разбиение дуги   системой точек   такое, что  ,   и   упорядочены по длине дуги от точки   до конечной точки разбиения  .

В ыберем на дуге   произвольную систему точек   так, чтобы точка   лежала на дуге между точками   и    (см. рисунок).

Сумма  , где  , называется интегральной суммой функции    по дуге  , соответствующей разбиению   и выбору точек системы  , ее значение зависит от разбиения   и выбора точек  .

Обозначим   – диаметр разбиения.

Интегралом ФКП    по дуге   называется число (вообще говоря, комплексное число), обозначаемое   и равное пределу интегральной суммы функции  при  , независимое от разбиения   и выбора точек системы  , т.е.

. (1)

Доказано (см. [2]), что для непрерывной на дуге   ФКП   и кусочно-гладкой дуги    интеграл (1) существует. Впредь будем предполагать эти условия выполненными.

СВОЙСТВА интеграла 

Если в выражении   выделить действительную и мнимую части, то из существования интеграла (1) следует существование пределов этих частей, и интеграл (1) представится в виде суммы двух криволинейных интегралов 2 рода по дуге  , а именно:

, (2)

где  ,  ,  ,  .

Поэтому свойства криволинейных интегралов 2 рода (по координатам) переносятся на интеграл ФКП (1). Отметим из них следующие:

1)    (аддитивность по функции);

  ,   (аддитивность по дуге);

  ,    (однородность);

   – смена знака значения интеграла при  изменении ориентации дуги.

2)  ,  (  на  ).

3) Если дуга   – контур, т.е.  , то интеграл ФКП по контуру   обозначается  . Если  , то интеграл называется несобственным интегралом.

4) Оценка интеграла ФКП проводится по формуле

, (3)

если    ограничена на  , т.е. существует число    такое, что   на  ;   – длина дуги  .

5) Если дуга   задана параметрически   т.е.  ,  , то вычисление интеграла (1) проводится с помощью вычисления соответствующих криволинейных интегралов (2) сведением к определенному интегралу с использованием уравнений дуги:

. (4)

Позднее будут рассмотрены другие способы вычисления интеграла ФКП по дуге и по контуру.

6)  , так как на окружности   имеем  ,   и  . (5)

Вычисления интегралов ФКП, рассмотренные далее, используют указанные свойства интегралов.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенных интегралов.