Особые точки и их классификация
Точка а
Сz называется изолированной
особой точкой однозначного
характера функции f (z),
если f (z)
аналитическая и однозначная (регулярная)
в кольце {z:0<|z–a|<},
а в самой точке а не
определена.
Бесконечно
удаленная точка называется изолированной
особой точкой однозначного
характера функции f (z),
если f (z)
регулярна в некоторой окрестности
{R<|z|<
}
точкиz=
и
функция 
имеет в точке =0 изолированную особую точку однозначного характера.
В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.
Изолированная особая точка а функции f (z) называется
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
б) полюсом, если
в) существенно особой точкой, если
не существует.
Заметим, что типы особых точек z= функции f (z) и =0 функции совпадают, ибо
Пусть
функция f (z)
регулярна в точке а (и,
следовательно, в некоторой окрестности
этой точки). Число т, т
1,
называется кратностью (или порядком) нуля
функцииf (z)
в точке а,
если выполнены условия
f (a)=f (a)=…=f (m-1)(a)=0,
f (m)(a)
0.
При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.
Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции
Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).
Замечание.
Вообще, если
,
где P(z) и Q(z)
– полиномы, не имеющие общих корней, то
корни полинома Q(z)
(и только они) являются полюсами
функции f (z).
Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).
Точка z= называется нулем кратности m 1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция
имеет нуль кратности т в точке =0.
Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a|<r} и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,
.
Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.
1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.
2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т 1, если главная часть имеет вид
,
где ст
0.
3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Разложение
функции f (z)
в окрестности бесконечно удаленной
точки в ряд Лорана имеет вид 
Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.
Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z= , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z= .