Вычет фкп и его вычисление

Интегрирование ФКП с помощью вычетов Вычет ФКП в особой точке , его вычичление

Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП и ее приложениях.

Вычетом однозначной функции   в изолированной особой точке   называется число, равное  , где  – произвольный контур, охватывающий один раз особую точку   и не содержащий внутри других особых точек функции  . Контур   предполагается положительно ориентируемым по отношению к области, содержащей особую точку. Значение вычета обозначается символически  ,  ,  ,   и т.д. (от французского слова "Residu", означающего "вычет"), итак,

. (1)

Заметим, что от вида контура  значение вычета ФКП не зависит.

Если ФКП   аналитическая в точке  , то существует некоторая окрестность   аналитичности функции. Пусть  произвольный контур, расположенный в   и охватывающий  точку  . Тогда по теореме Коши интеграл  , т.е. в точке аналитичности ФКП ее вычет всегда равен нулю.

Вычисление вычета ФКП в особой точке может проводиться не по формуле (1), а по специальным формулам для разных типов  особых точек функций.

Разложив в ряд Лорана   в кольце аналитичности, примыкающем к ОТ  , и применив операцию почленного интегрирования к ряду (4) (см. гл. 4), получим равенство

, (2)

т.е. значение вычета ФКП   в изолированной особой точке   совпадает с коэффициентом    в разложении в ряд Лорана по степеням  ФКП  . В случае, когда точка   – СОТ функции  , значение вычета всегда находят, используя разложение функции в ряд Лорана.

Если   – полюс " "-го порядка ФКП  , то можно показать, что  .  (3)

Причем если   – простой полюс, то из (3) получаем

. (4)

Для  , где   и   – аналитические ФКП,  при    – простом полюсе формула (4) может быть упрощена.  В самом деле, находим,

. (5)

Вычет ФКП   в точке  определяется равенством

. (6)

Весь контур   расположен в окрестности точки ,  не содержит кроме   других особых точек, ориентирован положительно относительно области, содержащей , обходится только один раз. Через коэффициенты ряда Лорана имеем

. (7)

Если   ( ) – УОТ ФКП  , то  , т.е.  . Заметим, что для  – УОТ ФКП   вычет функции может быть отличен от нуля.

Пример. Вычислить вычеты ФКП 

Основная теорема о вычетах Пусть ФКП   аналитическая на границе  области   и внутри этой области за исключением конечного множества изолированных особых точек  . Построим около каждой особой точки  контур   так, чтобы внутри   была только одна особая точка ; контуры не пересекались; все контуры     были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает Пример Для   убедиться в выполнении равенства Вычислить .

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП

Пример. Вычислить  .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:  . Чтобы найти коэффициенты разложения, снова приведем сумму этих простейших к общему знаменателю. Тогда  . Сравним первую дробь этого равенства с последней. Так как знаменатели этих дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е.  . Теперь для нахождения неопределенных коэффициентов можно воспользоваться одним из двух критериев равенства двух многочленов:

1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х

   Преобразованием Лапласа заданной функции   действительной переменной   называется преобразование, ставящее в соответствие функции   функцию   комплексного переменного, определенную как

2. Таблица оригиналов и изображений

При вычислении изображений и нахождении оригиналов по изображениям следует использовать таблицу:       № f(t) F(p) № f(t) F(p) 1 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 10 20         Пример 1. Найти изображение функции  . Решение. Преобразуем   к виду Пример 2. Найти изображение функции  . Решение. Воспользуемся формулами (15) и (11) таблицы.  Пример 3. Найти оригинал изображения  . Решение. Преобразуем это выражение к сумме элементарных функций, изображение которых есть в таблице. Для этого в знаменателе дроби выделим полный квадрат. По формулам (7) и (8) таблицы имеем  Замечание. Для нахождения оригиналов изображений, представленных в виде рациональных дробей, следует разложить эту дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами