2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция y=f(x) определена таблицейЗначения аргументов { } (i=0,1,…,n) будем называть узлами интерполяции.

Задачей интерполяции является построение многочлена L(x), значения которого в узлах интерполяции x_i равны соответствующим значениям заданной функции, то есть

L(x_i)=y_i (i=0,1,…,n)

Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула, представляющая многочлен L(x) в виде

,

где - многочлен степени n, принимающий значение, равное единице в узле и нулю в остальных узлах (k<>1) (i,k=0,1,…,n), и имеющий вид

=

Многочлен L(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа. Очевидно, степень многочлена не превышает числа n.

Теорема: ”Для любых значений f( ) и различных узлов интерполяции (i=0,1,…,n), существует единственный многочлен Лагранжа, который удовлетворяет условию интерполяции

L( )=f( )”.

2. Узлы Чебышева

Для отрезка [-1,1] многочлены Чебышева определяются следующим соотношением

,

причем

Легко показать, что

Данный многочлен имеет n действительных корней в интервале (-1,1), и они равны:

, где (i=0,1,…,n)

Перемасштабируем отрезок [-1,1] на отрезок [a,b]. Для этого переобозначим переменную x [-1,1], как переменную t [-1,1], а x [a,b]

x=0.5((b-a)t+(b+a)), , (i=0,1,…,n)

Итак, .

3. Вычисление погрешности

Итак, функция определена на отрезке . Множество точек - узлы интерполяции. Построив многочлен Лагранжа L(x) для системы узлов , положим

.

При этом в узлах интерполяции имеем

.

Если функция на отрезке имеет непрерывные производные до -го порядка включительно, то погрешность интерполяционной формулы оценивается неравенством

,

где - максимальное значение модуля (n+1)-й производной исследуемой функции на отрезке [a,b].

4.Численное дифференцирование.

Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x) существует производная r-того порядка f(r)(x) которую точно вычислить либо не удается, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производных функции используются формулы численного дифференцирования.

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлах x0 , x1 , ... , xN строят интерполяционный полином PN(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f(r)(x) »P(r)N(x),0 ≤ r ≤ N (4.1)

В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f(r)(x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Ниже приводятся несколько распространенных формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом hiºh > 0 [6, стр.58]:

r=1, N=1 (два узла): f '(x0 ) = (f1 - f0 )/h - hf ''(x)/2 (4.2)

f '(x1 ) = (f1 - f0 )/h + hf ''(x)/2 (4.3)

r=1, N=2 (три узла): f '(x0 ) = (-3f0 + 4f1 - f2)/2h + h2f '''(x)/3 (4.4)

f '(x1 ) = (f2 - f0)/2h - h2f '''(x)/6 (4.5)

f '(x2 ) = (f0 - 4f1 + 3f2)/2h + h2f '''(x)/3 (4.6)

r=2, N=2 (три узла): f ''(x0 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - hf '''(x) (4.7)

f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4)(x)/12 (4.8)

f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 + hf '''(x) (4.9)

r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x0 ) = (2f0 - 5f1 + 4f2 - f3 )/h2 + 11h2f (4)(x)/12 (4.10)

f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4)(x)/12 (4.11)

f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f3 )/h2 - h2f (4)(x)/12 (4.12)

f ''(x3 ) = (-f0 + 4f1 - 5f2 + 2f3 )/h2 + 11h2f (4)(x)/12 (4.13)

В приведенных формулах x есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x0 , xN). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x0 , xN] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.

ЗАДАЧА 4.1 Вывести формулы (4.2)-(4.13).

Оценка погрешности общей формулы численного дифференцирования (4.1) выражается в виде неравенства через максимум модуля производной f(k+1)(x) при любых r, k, N, таких, что 0 £ r £ k £ N. Ограничиваясь рассмотрением случая расположения узлов с постоянным шагом h, сформулируем результат в виде теоремы (без доказательства).

ТЕОРЕМА 4.1 [6, стр.61] Пусть xi=x0 + ih, h>0, i=0, ..., N и функция f(x) Î Ck+1[x0,xN]. Тогда существуют такие константы crkN, зависящие только от r, k, N и не зависящие от шага h и функции f(x), что (4.14)

где PN(x) - интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), 0 £ r £ k £ N.

Оценка (4.14) полезна тем, что она устанавливает скорость убывания погрешности относительно h на всем отрезке [x0 , xN] при фиксированных параметрах r, k, N.

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом h значения функции f(x) делятся на hr, где r-порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом h неустранимые погрешности в значениях функции f(x) оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага h, так как погрешность собственно метода стремится к нулю при h ® 0, а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, возникающая при численном дифферецировании, может неограниченно возрастать при h ® 0. Поэтому операцию численного дифференцирования называют некорректной.