13.Метод Монте-Карло

Функция вычисляет интеграл вида:

Мы будем считать, что область D вписана в квадрат [ax , bx ]*[ay , by ], тогда полагаем:

и используем для приближенного вычисления интеграла формулу

где (xi , yi ) пара независимых равномерно распределенных случайных величин.

На вход функции подается параметры ax, ay, bx, by, которые определяют квадрат [ax , bx ]*[ay , by ] на плоскости, в который вписана область D. В блок-схеме предполагается, что определена функция F(x,y), интеграл от которой необходимо вычислить, а так же функция D(x,y), которая принимает значение истина в случае, когда точка (x,y) принадлежит области интегрирования D и ложь в противном случае.

Параметр n опеределяет кол-во рассматриваемых точек и соответственно влияет на точность вычисления интеграла, но не следует брать его слишком большим иначе придется изменить алгоритм, так как может произойти переполнение при суммировании. Алгоритм нетрудно обобщить для вычисления интегралов от многомерных функций.

14.Метод Адамса

Метод Адамса — разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближённых значений решения в начальных точках.

Назван по имени предложившего его английского астронома Дж. К. Адамса в 1855.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0. Численное решение задачи состоит в построении приближенного значения y1 решения уравнения y(x) в точке x1 = x0 + h. Методами Адамса называют группу многошаговых методов, в которых приближенное решение yn + 1 = y(xn + 1) в точке xn + 1 = x0 + h(n + 1) вычисляется по формуле, использующей полином P(x) наименьшей степени, интерполирующий правую часть f(x,y) по значениям fn,fn − 1,...,fn − k + 1,fr = f(xr,yr). Методы, в которых P(x) = Pkn(x) называют k-шаговыми явными методами Адамса — Башфорта, а методы, в которых P(x) = Pk + 1n + 1 — (k + 1)-шаговыми неявными методами Адамса — Мултона. Методы Адамса k-го порядка требуют предварительного вычисления решения в k начальных точках. Часто для вычисления дополнительных начальных значений используется метод Рунге — Кутты 4-стадийный 4-го порядка точности.

15.Метод простых Итераций

Пусть есть функция . Требуется найти корень этой функции: такой при котором Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций.

Метод простых итераций в общем виде

Заменим исходное уравнение на эквивалентное ,и будем строить итерации по правилу . Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс. Для того, что бы начать данный процесс, необходимо знать начальное приближение . Выясним условия сходимости метода и выбор начального приближения.