3. Свойства операций над событиями.

Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 8.

9. 9.

10. 10.

11. 11.

12. 12.

4. Алгебра и сигма-алгебра событий.

Совокупность случайных событий (подмножеств множества ), определенных на пространстве элементарных исходов , называется алгеброй событий, если выполнены следующие условия:

1. ;

2. Если и , то для любых и ;

3. Если , то .

Для экспериментов с конечным числом исходов множество всех подмножеств , включающее пустое множество , составляет алгебру. Поэтому для таких экспериментов любое подмножество множества может интерпретироваться как наблюдаемое событие.

Во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом элементарных исходов и, следовательно, операций. Это потребовало введения понятия -алгебры событий .

Система подмножеств множества , называется -алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. Если , то и

3. Если , то .

Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит результирующее событие за пределы –алгебры.

5. Классическое определение вероятности события.

Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания:

,

где ­– число благоприятствующих событию исходов;

– общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

• Если , то событие невозможное.

• Если , то событие достоверное.

• Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Классическое определение вероятности предполагает, что

• число элементарных исходов конечно;

• эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено.

6. Статистическое определение вероятности события.

Статистическое определение вероятности, которое связано с понятием относительной частоты появления события в опытах. Относительная частота появления события – это отношение числа появлений события в серии из опытов к числу испытаний:

.

Вероятностью события в статистическом смысле называется число , относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

Поэтому, на практике за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Если вероятность некоторого события близка к нулю, то, следует, что при единичном испытании в подавляющем большинстве случаев такое событие не наступит. Возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы можно было пренебречь вероятностью наступления некоторого события в единичном испытании (например, землетрясение в Минске)? Достаточно малую вероятность, при которой наступление события можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,05 (пятипроцентный уровень) или 0,01 (однопроцентный уровень).