25. Равномерное распределение, его мат. Ожидание и дисперсия.

Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной на отрезке (a,b), если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины, имеющей равномерное распределение, равны соответственно:

Пример. Интервал движения автобуса равен 15 мин. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус не более 5 минут?

Решение. Пусть случайная величина - время ожидания автобуса. Она имеет равномерное распределение на отрезке [0,15]. Имеем

В рассматриваемом случае

26. Показательное распределение, его мат.Ожидание и дисперсия.

Показательным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, имеющее плотность вероятности вида:

где – постоянная положительная величина.

Функция распределения вероятности для показательного распределения имеет вид:

Функция распределения для приведена ниже

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, равны:

27. Нормальное распределение. Свойства функции Гаусса

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид функции Гаусса

где . – есть математическое ожидание, а - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. При распределение называется стандартным нормальным распределением.

Функция распределения в случае нормального распределения, очевидно, равна

.

Свойства функции Гаусса.

1. функция определена на всей оси .

2. Функция принимает лишь положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .

3. Ось служит горизонтальной асимптотой графика. Других асимптот у графика нет.

4. При функция имеет максимум, равный

5. Функция четная: ее график симметричен относительно прямой

6. При график функции имеет точки перегиба.

При любых значениях параметров и , площадь, ограниченная нормальной кривой и осью равна единице.

28. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.

Часто требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках этого интервала: .

Искомая вероятность может быть выражена в виде:

где - функция Лапласа.

Функция Лапласа и ее свойства.

Функция Лапласа не выражается через элементарные функции

Для ее вычисления используются специальные таблицы или методы приближенного вычисления.

Функция обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. функция – нечетная, т.е. , поэтому в таблицах обычно приводятся значения только для положительных ;

4. функция – монотонно возрастающая функция ( это следует из того, что ).