8. Понятие о полной группе событий.

Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество. Другими словами, для полной группы событий выполнены следующие условия:

• появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ;

• события и ( ) попарно несовместны и – событие невозможное при любых , т.е. .

Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .

Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

.

9. Формула сложения вероятностей для совместных и несовместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

Вероятность суммы n совместных событий может быть рассчитана по формуле

10. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Независимость событий.

Условной вероятностью события , называется вероятность события А вычисляемая при условии, что событие уже наступило и обозначается .

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других события и , используется условная вероятность относительно произведения событий и : .

Формула умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

.

Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

.

Независимость событий.

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

.

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Вероятность произведения конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

.

11. Формула полной вероятности.

Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий , образующих полную группу. Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим

.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.