2 Основные задачи интервального оценивания:
Зная доверительную вероятность, требуется определить границы доверительного интервала
Зная, границы доверительного интервала, найти доверительную вероятность.
Задана выборка: x1…xn, сигма х, Р.требуется найти границы доверительного интервала.
Нах. Mxn
Нах. Z, p= 2фи(z), фи(z) = P/2
Нах. E = в числителе Z*сигма х, в знаменателе корень из n.
Доверительный интервал (mxn – E; mxn + E)
Задача 2: Дано: x1…xn, сигма х, E. Найти доверительную вероятность, т.е. вероятность того, что величина mx принадлежит (mxn – E; mxn +E)
Нах. Z. = в числителе Е* корень из n, в знаменателе - сигма х.
Нах. Р = 2фи(z).
Данный метод оценки параметров с помощью интервалов носит название – метод доверительных интервалов, а сами задачи – задачи интервального оценивания.
8 Вопрос.
Задача минимального объема выборки.
Заданы величин Е, сигма х, Р. Требуется определить размер выборки, при котором интервал накроет генеральный параметр mx.
Нах. Z, p= 2фи(z), фи(z) = P/2
N = (в числителе – z* сигма х, в знаменателе Е) и все в квадрате.
Мы предполагали, что нам известна величина сигма х для генеральной совокупности, на практике это далеко не так, поэтому если эта величина неизвестна, то при решении задач 1 и 2 можно использовать вместо сигма х выборочную величину сигма xn. Надо вместо величины Z рассчитывать tкр = Е* корень из n/ сигма xn, Р = 1+Р/2 и вместо таблиц функций Лапласа надо использовать таблицы функции распределения Стьюдента.
Если объем выборки больше 30, то между распределениями Стьюдента и Лапласа практически отсутствует разница, но если выборка меньше 30 следует пользоваться только таблицами Стьюдента. Распределение Стьюдента еще называют распределением малых выборок.
9 Вопрос.
Проверкой статистических гипотез – называется метод, который применяется для принятия решений относительно справедливости гипотез. Такая проверка производится на основе выборок.
Решение при этом относительно справедливости гипотезы никогда не принимается с полной 100% уверенностью, всегда имеется риск ошибки. Величина риска ошибки допускается и контролируется.
Уровень значимости – это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы).
Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (по результатам наблюдений).
Риск, вероятность ошибки или уровень значимости при оценке справедливости гипотезы обозначается альфа, альфа = 1-Р.
Проверяемую гипотезу называют нулевой гипотезой и обозначают H0.
Пример:
H0 = {mx=c} мат. Ожидание некоторой случайной величины х большое равняется некоторому данному числу. (mxn-E; mxn+E)
Если проверяемое значение mx попадает в интервал, то проверяемая гипотеза применяется при заданном уровне значимости.
Если не попадает, то гипотеза противоречит выборке и отвергается уровнем значимости альфа.
10 Вопрос.
H0 = {mx=my}
Имеются 2 случайные величины Хбольшое и Y большое, из которой взяты выборки x1…xn; y1.. ym. М может быть не равно н. Требуется проверить по этим выборкам, что мат. Ожидания генер. Совокупности равны между собой. Такая гипотеза носит название гипотезы о равенстве средних.
Алгоритм проверки:
По выборке вычисляют выборочные значения mxn, mym, сигма xn, сигма ym.
Вычисляют величину t n;m = в числителе - mxn – mym, в знаменателе – корень из сигма xn в квадрате/n + сигма ym в квадрате/m
По заданному уровню значимости и по числу степеней свободы альфа и df = n+m-2 по таблицам определяют критическое значение
Сравниваем t n; m и t кр. Если t n; m > t кр. То гипотеза о равенстве средних отвергается, так как разница между средними оказывается статистически достоверной. Если наоборот, то гипотеза принимается.