Билет №24.Теорема Коши

   Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c  (a, b), такая, что справедлива формула

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка  (a, b), в которой g ' () = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).    Рассмотрим функцию

.

Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c  (a, b) , такая ,что F ' (c) = 0. Так как

,

то

.

Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

Билет №25. Правило Лопиталя

Билет №26. Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Если ф-ия f(x) имеет экстремум в точке x0, то производная её в этой же точке равна нулю или не существует. Доказательство очевидно.

Билет №27. Достаточное условие экстремума функции.

Первый признак.

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными ; а точки, где производная не существует называются критическими.

Итак, если точка х₀ есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х₀представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Подставляя в производную f’(x) сначала х<х₀ , а затем х>х₀, устанавливаем знак производной вблизи от точки х₀ слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Достаточное условие. Второй признак.

Теорема 3.1:Если х₀ есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х₀функция иммет максимум,а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х₀ минимум.

Доказательство: По определению второй производной

• если f’’(x)>0, то х₀ – точка минимума функции;

• если f’’(x)<0, то х₀ – точка максимума функции.

Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.

Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.

Билет №28. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции

Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀   ( a, b ).

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀   ( a, b ).

 

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

 

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x₀  существует вторая производная  f '' ( x₀ ), то  f '' ( x₀ ) = 0.