Билет №29. Асимптоты графика функции

Исследование функции f(x) на минимум и максимум, на точки перегиба облегчают построение графика этой функции. Но кривая y = f(x) может иметь асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближается кривая по мере удаления ее переменной точки в бесконечность.    Поэтому прежде чем построить кривую, нужно провести еще исследование ее уравнения на асимптоты.    Дадим более полное определение асимптоты.

Рисунок 1.

   Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).
   Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
   Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).
   Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых y обращается в бесконечность, т.е. при которых  .
   Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a     

   В самом деле, из рис.1 непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равноd = | x - a |. Когда x ® a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямаяx = a является асимптотой кривой y = f(x)

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Т еорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда,

когда  . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию  . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что  . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то  , но

MN = MK – NK = y - y_ас = f(x) - (kx+b).

Следовательно, мы можем записать следующее равенство  .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство  . Но при постоянных k и b   и  . Следовательно,  , т.е.  .

Если число k уже известно, то  , поэтому  .

Для доказательства в случае x → –∞  все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство  . Действительно

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е.   или   или  . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о.  .

Т аким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

 Пусть функция   определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции  . Тогда прямая   есть горизонтальная асимптота графика функции  .

Может случиться, что  , а  , причем   и   - конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов   или  , то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Билет №30. Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Д(f)

2. Исследование функции на непрерывность, т.е. точки разрыва вертикальной асимптоты

3. Нахождение наклонных асимптот

4. Четность, нечетность, периодичность

5. Точки пересечения с осью Ох и Оу

6. Точки экстремума, монотонность

7. Точки перегиба, выпуклость, вогнутость

8. График функции

Билет №31. Формула Тэйлора для многочлена. Формула Тэйлора для произвольной функции. Формула Маклорена