Билет №38. Полный дифференциал функции двух переменных и его применение к приближённым вычислениям.

Полным дифференциалом   функции   называется линейная (относительно   и  ) часть полного приращения функции:  .

Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу.

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

  Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

  Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

 

Билет №39. Производная сложной функции нескольких переменных.

Определение: Переменная z называется сложной функцией от независимых переменных х,у, t ,… если она задана посредством промежуточных аргументов u,v,…, где u = f(x ,y,t …), v = g ( x , y , t …) и.т.д.

Если для функции двух переменных z=f(x,y) обе переменные х и у зависят от некоторой третьей переменной t:х=j(t),у=c(t), то z зависит также только от t и можно вычислить производную причем справедлива теорема:

Теорема. Если функции x=x( t ) и  =y( t ) дифференцируемы в точке t , а функция z=f( x , y ) дифференцируема в точке М( x ( t ), y ( t )), то сложная функция z=f ( x ( t ), y ( t )) также дифференцируема в точке t :

Из этой формулы можно вывести и формулы дифференцирования для других форм задания сложных функций.

Для функции двух переменных z =f(x,y ) в случае, когда х=х(u ,v), у=у( u , v ), производные сложной функции z=f(х( u , v ),у( u , v )), по переменным u и v считаются по формулам:

Если z = f(x,y) и у=у(х), то можно вычислять полную производную функции z по переменной х:

Билет №40.Производная неявной функции нескольких переменных.

Если в уравнении вида   каждой паре чисел   и   из некоторой области соответствует одно или несколько значений  , удовлетворяющих этому уравнению, то уравнение   неявно определяет одну или несколько однозначных функций   от   и  . В этом случае говорят, что   есть неявная функция от  и  .

Частные производные   и   неявной функции находятся по формулам (предполагается, что  ):  

Билет №41.Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Билет №42.Производная по направлению функций нескольких переменных.

         Пусть имеется функция u = f(x,y,z), определённая в области V . Пусть точка M₀ (x₀, y₀, z₀)– внутренняя точка области V , то есть области V принадлежит и некоторая окрестность точки M₀. Пусть через точку M₀ проходит прямая l . Единичный вектор  , направленный по этой прямой имеет вид:  ,   где a , b , g   –  углы прямой соответственно с осями ох, он, оz .

Р ассмотрим другую точку

на этой прямой. Обозначим расстояние между этими точками через  . Тогда предел

  (если он существует) называется производной функции в точке M₀ по направлению этой прямой и обозначается   или  .

Теорема.  Если f (х, у, z ) дифференцируема в некоторой окрестности точки M₀ (например, имеет непрерывные    частные производные), то 

.                          (1)

Доказательство. Положим для удобства   . Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид:

        Это следует из того, что  .

        Тогда можно записать: .

        То есть имеем сложную функцию. Ищем производную:

.

        Применяя формулу дифференцирования сложной функции, находим в любой точке t :

.             (2)

        Замечание. Выясним, как нужно выбрать направление, чтобы производная по этому направлению была бы наибольшей. С этой целью введём в рассмотрение вектор

  .                                  (3)

        Этот вектор называется градиентом функции f (М).

        Кратко обозначается g r a d  f .

        Найдём скалярное произведение вектора g r a d  f и единичного вектора  .

.

        Мы получили формулу (2). Отсюда следует важный вывод о связи производной по направлению и градиента: производная функции f (М) по направлению l равна скалярному произведению градиента функции в указанной точке и единичного вектора заданного направления.

.             (4)

        Из этого соотношения очевидным образом следует, что наибольшее значение  будет тогда, когда  , то есть, когда направление   совпадает с направлением градиента.

        Дадим точное определение введённых понятий.

Определение. Производной   функции u  = f (х, у, z ) =  f  (М) в точке M₀ в направлении данного вектора   называется предел отношения   приращения функции в этом направлении к величине   перемещения точки М по этому направлению, когда 

.