Момент импульса твердого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси.

В тех случаях, когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, обычно оперируют с понятиями момента импульса и момента инерции относительно оси. Момент импульса   относительно оси - это проекция на данную ось момента импульса L, определенного относительно некоторой точки О, принадлежащей оси, причем, как оказывается, выбор точки О на оси значения не имеет.

Действительно, при вычислении   существенно лишь плечо импульса   относительно оси вращения O'O'' (рис. 2.12), то есть кратчайшее расстояние  массы   до оси:

(2.31)

Здесь учтено, что скорость массы   при вращательном движении 

Рис. 2.12.

Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Пусть оси Ox, Oy, Oz на рис. 2.12 - главные оси инерции для точки O, O'O'' - неподвижная в лабораторной системе ось вращения, жестко связанная с телом. Вектор угловой скорости   направленный вдоль O'O'', можно разложить по осям системы координат xyz:

(2.32)

где   - направляющие косинусы оси O'O''. Вектор L не совпадает с   и при вращении тела описывает коническую поверхность, симметричную относительно O'O''.Вектор L также можно разложить по осям системы xyz:   причем

(2.33)

где   - главные моменты инерции.

Проекция вектора L на ось вращения, или, что то же самое, момент импульса относительно оси

(2.34)

где

(2.35)

- момент инерции относительно оси.

Последняя формула позволяет рассчитать момент инерции твердого тела относительно произвольной оси в том случае, если известны главные моменты инерции   и ориентация оси вращения относительно главных осей инерции (углы   ). Во многих случаях такое вычисление оказывается значительно проще, чем прямое расчет по формуле

(2.35)

(см. (2.31)).

Отметим, что, в соответствии с данным выше определением,   - величина скалярная (проекция вектора L на ось вращения). Вместе с тем можно говорить и о векторе   рассматривая его как составляющую вектора L, вдоль оси:

(2.37)

(вектор   изображен на рис. 2.12,   ). В рекомендуемых учебных пособиях можно встретить обе трактовки понятия момента импульса относительно оси.

Эллипсоид инерции.

Формула (2.35) для момента инерции относительно оси допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

Представим, что через точку О начала координат системы xyz мы проводим прямые во всевозможных направлениях и на них откладываем отрезки длиной  (рис. 2.13), где   есть постоянная величина, имеющая размерность кг^1/2*м². Геометрическим местом концов этих отрезков будет некоторая поверхность. Получим уравнение этой поверхности.

Рис. 2.13.

Пусть оси Ox, Oy, Oz на рис. 2.13 - главные оси инерции. Проекции вектора R на оси координат составляют

(2.38)

(2.39)

(2.40)

откуда

(2.41)

Подставляя (2.41) в (2.35), получим

(2.42)

или

(2.43)

Это, как известно, уравнение эллипсоида, который в данном случае называют эллипсоидом инерции.

Центр эллипсоида инерции, как видно из его уравнения, находится в начале координат системы xyz (точке О). Постоянная   может быть выбрана произвольно и определяет масштаб построения; изменяя   мы будем получать подобные эллипсоиды. Главные оси эллипсоида инерции являются главными осями инерции тела для точки О.

Эллипсоид инерции жестко связан с телом, а его положение относительно тела зависит от выбора точки О. Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется центральным. Если известно положение эллипсоида инерции, известно и положение всего тела в данный момент времени. Рассматривая вращательное движение твердого тела, в ряде случаев можно абстрагироваться от его формы и иметь дело с эллипсоидом инерции. Для куба и шара, например, центральные эллипсоиды инерции вырождаются в сферу, поэтому эти тела с точки зрения многих задач механики оказываются эквивалентными.

Для примера рассмотрим сплошное однородный куб с ребром   и массой  . Эллипсоид инерции для центра одной из граней куба (точка О) показан на рис. 2.14. Полуоси OA, OB, OС лежат на главных осях инерции для точки О, причем ОА = ОB лежат в плоскости боковой грани, а   - перпендикулярна боковой грани. Для сравнения: эллипсоид инерции для центра куба вырождается в сферу с радиусом, равным ОС.

Рис. 2.14.

Понятие эллипсоида инерции позволяет с помощью достаточно простого графического построения установить связь между угловой скоростью   и моментом импульсаL относительно точки О, принадлежащей оси вращения. Речь идет о так называемом построении Пуансо, которое мы приводим без доказательства: необходимо построить эллипсоид инерции с центром в точке О и в точке его пересечения с осью вращения (вектором угловой скорости  ) ( провести плоскость, касательную к эллипсоиду. Перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида инерции на касательную плоскость, и даст направление вектора момента импульса L Пример подобного построения представлен на обсуждавшемся выше рис. 2.14.