2.2. Приклад розв’язування задачі на визначення похибок багаторазового прямого вимірювання

Задача №5.1. Електричний опір вимірюється за допомогою зрівноваженого моста Уітстона постійного струму (рис. 5.1). Невідомий опір r₁ під’єднаний до вершин А і С двома провідниками, опір кожного з яких дорівнює r₀ = 0,2 Ом (із точністю до 1 %). Напруга живлення мостової схеми U =(8,0 ±0,1) В. Точність відтворення опорів r₂, r₃ та r₄ — до 0,01 Ом. У вимірювальну діагональ СВ увімкнено мікроамперметр класу точності k_A = 1,0 зі шкалою —10...0...+10мкА (тобто N = 20мкА). Кількість вимірювання n, що проводились,дорівнює 11 і отримано масив спостережень, який наведений у вихідній табл.№5.1. Обчислити значення опору з записом кінцевого результату вимірювання (РВ) при довірчій ймовірності Р_Д =0,95.

Розв’язання

Аналіз вимірювальної схеми та умов проведення вимірювань приводить до висновку, що всі значення результатів спостережень завищені на 0,4 Ом (загальний опір провідників, за допомогою яких невідомий опір підімкнений до вимірювальної схеми). Це систематична складова похибки даної вибірки, яку можна легко виключити відповідною поправкою. Для цього поправку, яка дорівнює 2r₀, необхідно відняти від кожного із РВ вибірки табл.№5.1. Відкоригована вибірка приведена в табл..№5.2.

Табл. №5.1

Номер спостереження	Результати спостереження, Ом
1	75,60
2	75,55
3	75,42
4	75,64
5	75,46
6	75,95
7	75,55
8	75,43
9	75,52
10	75,57
11	75,50

Рис. 5.1.

Табл.№5.2 Табл.5.3

Номер спостереження	Результати спостереження, Ом	Номер спостереження	Результати спостереження, Ом
1	75,20	1	75,20
2	75,15	2	75,15
3	75,22	3	75,22
4	75,24	4	75,24
5	75,06	5	75,06
6	75,55	6
7	75,15	7	75,15
8	75,03	8	75,03
9	75,12	9	75,12
10	75,17	10	75,17
11	75,10	11	75,10

Для таблиці 5.2 обчислюємо найвірогідніше значення результату вимірювання даної вибірки, вирахувавши математичне сподівання або середнє арифметичне за формулою:

M[X] = ( X_і)/n =( X_і)/11 = 75,15 Ом.

Знаходимо середньоквадратичне відхилення для даної вибірки за формулою для малої кількості проведених вимірювань ( n<20) :

S_x = = = 0,11 Ом.

де (Х_і - ) - це випадкова Δ_в складова похибки (ВСП) кожного одиночного

вимірювання (спостереження) в даній точці, яка визначається як рiзниця мiж результатом одиночного вимірювання Х_і та математичним сподіванням результатiв вимірювання або середнім арифметичним: Δ_в = Х_і - M[X] Х_і - .

Оскільки одне із спостережень (№6) значно відрізняється від решти, необхідно перевірити, чи не є воно промахом. Для цього використовуємо критерій, наприклад, Райта (критерій 3σ). Згідно з цим критерієм випадкова складова похибки Δ_в одиночного спостереження, яка є більшою за 3σ, вважається промахом і повинна бути відкинута із результатів вимірювання. Для спостереження №6:

Δ_в6 = 75,55 – 75,15 = 0,4 Ом > 3σ = 3 * 0,11 = 0,33 Ом.

Умова критерію виконується, тому вимірювання №6 відкидається.

Знову вираховуємо математичне сподівання M[X], але уже для табл.5.3 (без спостереження №6): M[X] =( X_і)/10 =75,124 Ом, та знаходимо середньоквадратичне відхилення для даної вибірки за формулою для малої кількості проведених вимірювань ( n<20):

= = = 0,08 Ом.

Необхідно оцінити закон розподілу нашої вибірки по табл. 5.3. В якості критерію оцінки закону розподілу використовуємо, наприклад, значення величини відносного середнього квадратичного відхилення (коефіцієнт варіації ): або у відсотках . Якщо коефіцієнт варіації має значення 0,33...0,35, то можна рахувати, що розподіл ВСП підпорядкований нормальному закону. Розраховуємо коефіцієнт варіації :

= 0,08/75,124 = 0,001< 0,33...0,35.

Таким чином, розподіл ВСП підпорядкований нормальному закону і в

цьому випадку можемо визначити випадкову складову похибки вибірки з указаною довірчою ймовірністю Р_д = 0,95 за формулою:

= 2,26*(0,08/√10) = 0,05 Ом,

де = - квантільний коефіцієнт розподілу Стьюдента для двохстороннього симетричного довірчого інтервалу при малій кількості проведених вимірювань. Значення для деякої кількості n та 2-х значень наведено нижче в таблиці 5.4:

Табл. 5.4

n	2	3	4	5	7	8	9	10	11	15
	6,31	2,90	2,35	2,13	1,94			1,83		1,76
	12,7	4,30	3,18	2,78	2,45	2.36	2,31	2,26	2,23	2,14

Вираховуємо також значення дослідного середньоквадратичного відхилення , використовуючи :

≈ 0,024 Ом.

Подальший аналіз вимірювальної схеми показує, що для неї притаманні не усунені залишки систематичної складової похибки РВ, які визначаються наступними факторами:

■ неточністю зразкових опорів r₂, r₃ та r₄ мостової схеми;

■ неточністю опорів r₀;

■ неточністю визначення рівноваги мостової схеми за допомогою мікроамперметра;

■ коливаннями напруги живлення мостової схеми.

У всіх випадках після виявлення не усунених залишків систематичної складової похибки РВ, останні повинні бути оцінені за величиною з метою їх урахування або нехтування ними !!!!!.