Заняття №6 «Розрахунок похибок та запис кінцевого результату вимірювання при непрямих сукупних та сумісних одноразових та багаторазових вимірюваннях»

1. Мета заняття

1.1. Засвоїти: поняття сукупних та сумісних вимірювань та їх особливості.

1.2. Засвоїти загальну методику визначення математичного сподівання та похибок при сукупних і сумісних багаторазових вимірюваннях з використовуванням визначників.

1.3. Засвоїти методику визначення похибок за одноразових та багаторазових непрямих сукупних і сумісних вимірюваннях та форми запису кінцевого результату вимірювання (РВ) при них.

2. Завдання на виконання роботи

2.1. Основні загальні положення

Cукупними називаються вимірювання, що складаються з ряду (сукупності) прямих одночасних вимірювань однієї чи декількох однойменних величин - аргументів, виконаних при різних умовах, або при різній їх комбінації. При цьому числове значення вимiрюваної величини отримують шляхом розв’язування системи рiвнянь. Наприклад, вимірювання електричного опору(r_Х) заземлення рис. 6.1. Пряме вимірювання такого опору неможливе, тому установлюють два допоміжні заземлення r_У, r_Z та проводять прямі попарні вимірювання цих заземлень.

Фактично вимірюють прямо опори: r₁ = r_Х + r_У; r₂ = r_У + r_Z; r₃ = r_Х + r_Z. Розв'язуючи отриману систему рівнянь відносно r_Х, знаходять його значення, а якщо необхідно і значення допоміжних заземлень r_У та r_Z.

Рис.6.1.

Сумісні вимiрювання - це одночасне вимiрювання двох або декiлькох рiзнойменних величин із метою знаходження залежностi мiж ними.

Як приклад, визначенння температурних коефіцієнтів зміни опору

провідника із платини від температури за рівнянням: Rt = Ro (1 + aT + bT ),

яке має місце за температури більше 0С. Для вирiшення задачi проводять попарнi одночасні вимiрювання різнойменних величин (опору провiдника i температури), складають систему рiвнянь i пiсля її вирiшення одержують числові значення коефіцієнтів «a» та «b».

Сумiснi вимiрювання дiстають широке розповсюдження при вимiрюваннях якiсних показників харчових продуктів, які є багатокомпонентними сумішами. Наприклад, одночасно можуть вимірюватись густина, в’язкість, показник рН і інші, які в комплексі дають показник якості продукту.

У сукупних та сумісних вимірюваннях величини х_i, що не піддаються прямому вимірюванню, визначаються за результатами вимірювання інших

величин y_j, які є їх функціями і які можуть бути записані наступним чином:

F_j(х₁, х₂,… х_і,… х_n) = y_j, (6.1)

де і – порядковий номер шуканих величин, і = 1; 2;…; n; j – порядковий номер прямих вимірювань величин , j = 1; 2;…; m.

Проводять багаторазові (j = 1; 2;…; m) вимірювання однойменних або різнойменних величин і складають систему рівнянь.

Якщо n = m, то таку систему можна розв’язати звичайними алгебраїчними прийомами (проведено одноразові вимірювання: стільки вимірювань – скільки є невідомих), але точність визначення Х_i буде невеликою.

Рівняння (4.1) замість точних значень Х_i містять результати їх вимірювань y_j із випадковими похибками ∆Y_j: y_j = Y_j ±∆Y_j.

Щоб дістати вірогідніші результати обчислення Х_i, необхідно провести декілька прямих вимірювань кожного значення Y_j., але тоді, за наявності похибок ∆Y_j, систему не можливо розв’язати алгебраїчно.

Для розв’язання систему рівнянь (6.1) перетворюють, по-перше, в кожне рівняння вводять залишкову похибку, яку зображують, наприклад, φ_j ., а по-друге – її записують у вигляді системи умовних рівнянь:

а_jі - y_j = φ_j. (6.2)

Індекси у коефіцієнтів «а» у формулах вказуються у послідовності «j–тий рядок та і-тий стовпчик».

Математично доведено, що найдостовірнішими значеннями невідомих величин будуть такі, за яких сума квадратів залишкових похибок є мінімальною (принцип найменших квадратів Лежандра):

φ_j =min. (6.3)

А необхідною умовою такого мінімуму є рівність нулю похідних:

; і = 1; 2;…; n. (6.4)

Якщо підставити значення φ_j, то дістанемо систему так званих нормальних рівнянь: . (6.5)

Тобто, загальний спосіб знаходження системи нормальних рівнянь полягає

в обчисленні частинних похідних від кожної φ_j по кожній із невідомих х_i та множенні цих похідних на відповідні значення φ_j і додавання всіх одержаних добутків для однієї і тієї ж самої невідомої х_i:

φ₁ + φ₂ +…+ φ_m = 0. (6.6)

Сукупність цих виразів (для всіх х_i) і становить систему n нормальних рівнянь. Оскільки кількість нормальних рівнянь завжди дорівнює кількості невідомих, то таку систему можна розв’язати алгебраїчно.

Систему нормальних рівнянь спрощують і записують у наступному вигляді:

, де h = 1; 2;…; n (6.7)

Цю саму систему можемо записати у розгорнутому вигляді:

b₁₁ х₁ + b₁₂ х₂ +…+ b_1n х_n = c₁.;

{ b₂₁ х₁ + b₂₂ х₂ +…+ b_2n х_n = c₂.; (6.8)

……………………………………

b_n1 х₁ + b_n2 х₂ +… b_nn х_n = c_n.

■ Якщо шуканих величин n=2, то умовні рівняння при кількості вимірювань m мають вигляд:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ - y₁ = φ₁.;

{ а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ - y₂ = φ₂.; (6.9)

а система нормальних рівнянь виглядає таким чином:

b₁₁ х₁ + b₁₂ х₂ = c₁.;

{ b₂₁ х₁ + b₂₂ х₂ = c₂.; (6.10)

Значення коефіцієнтів для нормальних рівнянь при n=2 визначають за формулами:

b₁₁ = ; b₁₂= b₂₁= ; b₂₂ = ,

а значення вільних членів дорівнює:

c₁= ; c₂= .

■ Якщо шуканих величин n=3, то умовні рівняння при кількості вимірювань m мають вигляд:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + а₁₃ х₃ - y₁ = φ₁.;

{ а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + а₂₃ х₃ - y₂ = φ₂.; (6.11)

……………………………………

а_m1 х₁ + а_m2 х₂ + а_m3 х₃ + - y_m = φ_m.

Cистема нормальних рівнянь виглядає таким чином:

b₁₁ х₁ + b₁₂ х₂ + b₁₃ х₃ = c₁.;

{ b₂₁ х₁ + b₂₂ х₂ + b₂₃ х₃ = c₂.; (6.12)

b₃₁ х₁ + b₃₂ х₂ + b₃₃ х₃ = c₃.

Значення коефіцієнтів для нормальних рівнянь визначають за формулами:

b₁₁ = ; b₂₂ = , b₃₃ = ,

b₁₂= b₂₁= ; b₁₃ = b₃₁= ; b₂₃ = b₃₂= ;

Значення вільних членів дорівнює:

c₁= ; c₂= c₃= .

■ Якщо кількість невідомих n < 4, то їх значення можна знаходити, розв’язуючи систему нормальних рівнянь за допомогою визначників.

■■ Обчислення визначників другого (n=2) порядку:

система нормальних рівнянь при n = 2 (4.10):

b₁₁ х₁ + b₁₂ х₂ = c₁.;

{ b₂₁ х₁ + b₂₂ х₂ = c₂.

Головний визначник D системи:

D = b₁₁ b₂₂ - b₂₁ b_12. (6.13):

Обчислення частинних визначників D₁ та D₂ другого порядку для матриці (4.10) здійснюється для D₁ заміною значень колонки b₁₁ та b₂₁ на відповідні значення із колонки c₁ та c₂., а для D₂ - заміною колонки b₁₂ та b₂₂ на ці ж значення із колонки c₁ та c₂:

D₁ = c₁ b₂₂ - c₂ b_12. (6.14):

D₂ = b₁₁ c₂ - b₂₂ c₁ 6.15):

Суть вирахуваних показників в тому, що вони дозволяють вирахувати найдостовірніші значення двох Х₁ та Х₂ невідомих за їх багаторазового вимірювання - їх математичне сподівання (середнє арифметичне):

= D₁ / D ; (6.16); та = D₂ / D (6.17)

Крім цього головний показник дозволяє вирахувати середньоквадратичне відхилення результатів сукупного або сумісного вимірювання при n=2:

(6.18) та (6.19).

Останнє в свою чергу дозволяє вирахувати надійні межі випадкових складових похибок Δ_р для добутих результатів та , використовуючи формулу (1.13) та значення коефіцієнта Стьюдента для сукупного або сумісного вимірювання із таблиці, що наводиться в табл.4.1:

Табл.4.1

=0,95 (m-кількість проведених вимірювань, n -кількість невідомих величин)

m-n+1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	12,71	4,303	3,182	2,776	2,571	2,447	2,365	2,306	2,262

■■ Обчислення визначників третього (n=3) порядку:

система нормальних рівнянь при n = 3 (6.12):

b₁₁ х₁ + b₁₂ х₂ + b₁₃ х₃ = c₁.;

{ b₂₁ х₁ + b₂₂ х₂ + b₂₃ х₃ = c₂.; (6.12)

b₃₁ х₁ + b₃₂ х₂ + b₃₃ х₃ = c₃.

Головний визначник системи D

D =b₁₁ b₂₂ b₃₃+ b₁₂ b₂₃ b₃₁ + b₁₃ b₂₁ b₃₂ - b₃₁ b₂₂ b₁₃ - b₃₂ b₂₃ b₁₁ - b₃₃ b₂₁ b₁₂. (6.20)

Відповідно визначаємо три частинних визначника:

D₁= c₁ b₂₂ b₃₃+ b₁₂ b₂₃ c₃ + b₁₃ c₂.b₃₂ - c₃ b₂₃ b₁₃ - b₃₂ b₂₃ c₁ - b₃₃ c₂ b₁₂ (6.21)

D₂ = b₁₁ c₂. b₃₃+ c₁ b₂₃ b₃₁ + b₁₃ b₂₁. c₃ - b₃₁ c₂.b₁₃- c₃ b₂₃ b₁₁ - b₃₃ b₂₁ c₁ (6.22)

D₃ = b₁₁ b₂₂ c₃+ b₁₂ c₂b₃₁ + c₁ b₂₁. b₃₂ – b₃₁ b₂₂ c₁ - b₃₂ c₂.b₁₁ - c₃ b₂₁ b₁₂ (6.23)

Вірогідні значення трьох невідомих Х₁ , Х₂ та Х₃ :

= D₁ / D ; (6.16); = D₂ / D ; (6.17) та = D₃ / D (6.24)

Середньоквадратичні відхилення результатів сукупного або сумісного вимірювання при n=3:

; (6.25) ; (6.26).

. (6.27)