Глава 3. Производственные функции и агрегирование

Существует широкий выбор алгебраических выражений, которые можно использовать для представления производственных функций. Простейшая модель - это специальный случай общей модели анализа производства. Если фирме доступен только один вид деятельности, то производственную функцию можно представить прямоугольными изоквантами с постоянной отдачей от масштаба. Возможность изменять соотношение факторов производства отсутствует, и эластичность замены, безусловно, равна нулю. Это крайне специализированная производственная функция, но ее простота объясняет ее широкое применение во многих моделях.

Вероятно, наиболее популярна производственная функция Кобба-Дугласа. В своей наиболее известной форме, когда Х означает объем производства, К - размер капитала и L - затраты труда, она записывается в виде

X=ALбKв,

X > 0, б?O;

K > O, в? 0;

L > O, A > 0.

Свойства функции Кобба-Дугласа следующие.

а) б и в - показатели эластичности производства по отношению к труду и капиталу соответственно.

б) Степень однородности функции равна б + в. Если б + в превышает единицу, налицо возрастающая отдача от масштаба; б + в = 1 указывает на постоянную отдачу.

в) Предельная физическая продуктивность труда, например, при б < 1, изменяется обратно вложенному труду, т.е. уменьшается при увеличении последнего. Соответственно вторая производная ?2X/?L2 = б(б - 1)X/L2 отрицательна при б < 1.

г) Предельная норма замещения равна бK/ вL, поэтому эластичность замещения равна единице.

Из производственной функции Кобба-Дугласа и цен продукции (Р), труда (W) и капитала (I) можно вывести функцию затрат и уравнение предложения для условий конкурентного рынка. После подстановки выражений для предельной производительности в уравнения производства получим функцию затрат в виде

Подобным образом функция предложения может быть получена приравниванием ?C/?X к P, что после преобразований дает

Функция затрат линейна по отношению к логарифмам ставки заработной платы, цены капитала и объема продукции. Если б + в = 1, затраты пропорциональны выпуску продукции и кривая предложения обладает бесконечной эластичностью. Можно было бы опустить предположение о конкурентности и ввести эластичности предложения факторов производства, чтобы получить неконкурентные функции затрат, но вычисления становятся утомительными.

Функция Кобба-Дугласа имела долгую и успешную жизнь без серьезных соперников, но недавно ей составила сильную конкуренцию новая функция Эрроу, Ченери, Минхаса и Солоу, которую мы будем называть сокращенно SMAC. (Браун и Де Кани также разработали эту функцию независимо). Основное отличие функции SMAC заключается в том, что вводится постоянная эластичности замещения у, отличная от единицы (как в функции Кобба-Дугласа) и нуля (как в модели затраты- выпуск). Функция имеет вид

X = г [д K -с + (1-д) L -с)] -1/с (4)

Это однородная функция первой степени, так что отдача от масштаба постоянна. Параметр эффективности г определяет объем продукции при данных затратах ресурсов; параметр распределения д (0 < д < 1) отвечает за деление фактора дохода. Параметр замещения (р) является простой функцией эластичности замещения, поэтому у = 1/(1 + с). Предельный продукт капитала равен дг (-с)(X/K)(1+с). Пределы для величины с выводятся из у. Когда эластичность бесконечна, с = 1; а когда эластичность равна нулю, с = ?.

За счет подбора подходящих значений у функцию SMAC можно привести как к форме затраты-выпуск, так и к форме Кобба-Дугласа. Когда у стремится к единице (т.е. с > 0), функция SMAC переходит в функцию Кобба-Дугласа. Продемонстрируем это следующим образом:

и, следовательно,

Деля на с, при с > 0, в пределе получим

X = гK д L 1-д (6)

Это функция Кобба-Дугласа с постоянной отдачей от масштаба.

Аналогичным образом можно показать, что предельная форма при с > ? представляется рядом прямоугольных изоквант с расположением углов на луче, исходящем из начала координат. Вместо преобразования функции SMAC ее можно обобщить, чтобы учесть случаи возрастания и убывания отдачи от масштаба путем введения еще одного параметра н:

X = г[ д K-с + (1 - д)L-с] -н/с, н>0. (7)

Если н>1, налицо возрастание отдачи от масштаба, а если н<1, отдача уменьшается.

Функции затрат и предложения можно вывести из функции SMAC (при н=1) путем подходящих подстановок. В случае совершенной рыночной конкуренции получаем кривую затрат длительного периода (капитал считается независимой переменной):

С = KZ, (8)

где

Используя соотношение между капиталом и объемом продукции, получаем функцию затрат длительного периода с объемом продукции как независимой переменной:

Затраты являются линейной функцией объема продукции, как и следовало ожидать, от однородной функции первой степени. Соотношение между затратами и ценами факторов, конечно, более сложное, чем в случае Кобба-Дугласа.

Выбор той или иной модели производственных соотношений зависит от многих условий. Важным критерием следует считать тот вес, который модель придает разумно агрегированным соотношениям, которые в некотором смысле соответствуют микросоотношениям.

Производственная функция - это технологическое соотношение, стоящее перед фирмой. Именно предприниматель выбирает нужные пропорции и уровни объема продукции. Можно ли перейти к построению полезных производственных функций для отрасли или для промышленного или сельскохозяйственного сектора в целом? Сразу видна одна трудность: те факторы, которые мы считали фиксированными для отдельной фирмы, вовсе не обязательно будут фиксированными для отрасли, например предпринимательская способность. Другие факторы, такие как количество квалифицированного труда, которые не были фиксированы для отдельной фирмы, вполне могут быть значительно ограничены для отрасли. Даже если бы у всех фирм была растущая отдача от масштаба, это еще не означало бы, что отрасль в целом также получает экономию от масштаба. Расширение отрасли часто сталкивается с менее удобными местами, ограниченным предложением сырья и т.д. При обсуждении задачи агрегирования удобно было бы отвлечься от трудностей, связанных с положительными и отрицательными внешними эффектами. В частности, мы будем полагать производственные функции отдельных предприятий не зависящими от совокупного производства отрасли.

Систематическое исследование общей задачи агрегирования производственных функций было развито в пионерской статье Клейна. Для получения агрегированной (строго говоря, усредненной) производственной функции и агрегированных отношений предельных продуктивностей, аналогичных микрофункциям, он предложил построить взвешенное геометрическое среднее из соответствующих микропеременных, где веса были бы пропорциональны эластичностям для отдельных фирм. Эластичности макрофункции представляют собой взвешенное среднее микроэластичностей, причем веса пропорциональны затратам на факторы. Макровыручка представляется произведением макроцены на макроколичество, которое определяется как арифметическое среднее микровыручек; аналогичным образом определяются макроставка заработной платы и макрозатраты капитала.

Клейновское агрегирование по фирмам имеет ряд любопытных следствий. К примеру, определение макроставки заработной платы W таково:

где Wi и Li - ставка заработной платы и (однородный) труд, вложенный на i-й фирме, а

есть определение вложенного макротруда, в котором бi, представляет собой эластичность труда на i-й фирме. В условиях конкуренции на всех фирмах одна и та же ставка заработной платы W* = Wi для всех i. Поэтому после подстановки получим

Таким образом, макроставка заработной платы будет почти всегда отличаться от общей ставки фирм. В этом простом случае трудно интерпретировать W и понять, почему она должна отличаться от W*. Подобные же замечания можно сделать относительно цен продукции и капитала.

Большой вклад в формальную теорию агрегирования внес Натаф. Он доказал, что при разумном агрегировании производственная функция должна быть сепарабельной. При этом объем продукции равны сумме двух составляющих, одна из которых связана с трудом, а другая с капиталом. Это условие накладывает сильные ограничения. Из ранее рассмотренных производственных функций модель затраты-выпуск, очевидно, сепарабельна. Функция Кобба-Дугласа не отвечает этому условию, но после логарифмического преобразования становится сепарабельной; это объяснение клейновского использования средних геометрических. Конечно, функция Кобба-Дугласа хорошо подходит для агрегирования, особенно на уровне фирмы. Указанным свойством обладает и производственная функция SMAC. Ее можно записать в виде

г сX -с = д L -с + (1 - д) K -с. (13)

Это сепарабельная функция, удовлетворяющая условиям Натафа.

Одна из основных практических проблем агрегирования заключается в том, что данные обычно публикуются в виде арифметических средних или итогов, тогда как наша система агрегирования требует геометрических средних. Каковы ошибки, возникающие при такой аппроксимации? Можно показать, что, если отклонения от среднего значения относительно малы, среднее геометрическое (G) приближенно связано со средним арифметическим формулой

В этом случае арифметическая величина дает относительное смещение вверх приблизительно на половину относительной дисперсии. Отсюда следует, что если относительные дисперсии переменных - продукции, капитала и труда - приблизительно равны, то относительные смещения будут близки. Это верно, впрочем, лишь при условии относительно малых отклонений от средних значений, а данное условие на практике часто не выполняется. Статистические задачи линейного агрегирования рассматривались Тейлом. Тейл исследует, насколько законно применение макроотношений к агрегированным уровням при заданных микроотношениях и виде агрегирования. Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа в логарифмической форме для i-й фирмы:

xi = бili + вiki +ai, i=1,...,n, (15)

где xi = log Xi , li = log Li и ki = log Ki.

Отсюда будем искать производственную макрофункцию

x = бl+ вk + a + е

для наблюдаемых агрегированных уровней временного ряда. Сначала рассмотрим регрессию затрат труда на i-й фирме по случайным агрегированным затратам труда и капитала для наблюдений, представленных временным рядом, т. е.

li = Bli l + Cli k + Dli + Uli (17)

Подобным же образом вычисляется регрессия капитала:

ki = Bki l + Cki k + Dki + Uki. (18)

Коэффициенты регрессии В и С описывают систематические движения микропеременных как макровеличинное изменение. Случайные переменные U обладают обычными характеристиками. Подставляя эти уравнения в микроуравнение (15), получим

x = бl + вk + a, (19),

где

Смещение оценок макропараметров при агрегировании измеряется ковариационными членами уравнений. К сожалению, трудно развить эти результаты дальше, поскольку нелегко предложить априорные ограничения на величину ковариаций. Количественной величине смещения еще предстоит статистическая оценка.

После обзора проблем агрегирования нетрудно усомниться вообще в применимости такого понятия, как агрегированная производственная функция.

Разнообразие рыночных и технологических условий, какое наблюдается в современной экономике, внушает мысль о невозможности удовлетворить основным требованиям разумного агрегирования, за исключением, может быть, отдельных фирм в одной и той же отрасли или ограниченных секторов экономики.

Заключение

Можно выделить важность двух моментов, связанных с теорией предельной производительности.

Во - первых, она применяется только при условии взаимозаменяемости факторов производства. Если такой взаимозаменяемости нет, то невозможно определить предельный продукт одного фактора от предельного продукта других факторов, а дополнительное вложение одного из факторов производства при неизменности других приводит лишь к растранжириванию этого ресурса без какого - либо воздействия на объем выпускаемой продукции. На практике случаи отсутствия взаимозаменяемости очень редко встречаются.

Во - вторых, принципы замены одного фактора производства другим применяется лишь тогда, когда решение о привлечении того или иного ресурса может быть гибко изменено. То есть эти принципы применимы в первую очередь к оборотному капиталу (сырью, материалам), поскольку решения об их закупе могут регулярно пересматриваться. К труду этот принцип применяется с некоторыми оговорками, поскольку предприниматель не может не считаться с условиями коллективного договора.

Для производства продукции необходимо взаимодействие всех факторов производства, и ни один из них в отдельности не способен произвести продукт и принести доход.