Вопрос 2. Аксиоматическое строение теории вероятности.

В основе лежит построение математической модели случайного эксперимента. При введении аксиом используется частотный подход.

Случайный эксперимент->модель случайного эксперимента

Множество элементарных исходов->пространство элементарных событий

={ }

₁={ЦЦ}

₂={ГЦ}

₃={ЦГ}

₄={ГГ}

Множества

Счетные – можно поставить в соответствии натуральных чисел, то есть пронумеровать.

Например, бросание монеты до появления герба

₁={Г} ₂={ЦГ} ₃={ЦЦГ} …

Непрерывные – когда заполняется полностью интервал.

Подмножества пространства называются событиями. Таким образом любое событие в точке _i , составляющие событие А называются благоприятствующими события А или входящими в событие А.

А – выпадение герба.

А={ω₂+ ω ₃}

UΩ А=А₁∙А₂

V0

Построение алгебры событий позволяет изображать случайные события через простые.

Е сли всякий раз, когда происходит событие А происходит и событие В, то говорят, что А входит в В.

А и В – несовместные, так как

не имеют общих точек. Ω

Диаграмма Венна

Ω

А входит в В =>

Если каждый раз, когда происходит событие А, происходит событие В и ,когда происходит В, происходит и А, то говорят , что события А и В равносильны или эквивалентны.

Ω

А =В

Суммой событий А и В называют событие С, наступающее тогда, когда наступает хотя бы 1 из событий А или В.

С=А+В→(теоретико-множественный подход)→С=АUВ (объединение)

Ω

П роизведением А и В называется событие С, наступающее тогда , когда наступает событие А и В.

С =АВ→(ТМП)→А∩В

Ω

А+А=А А∙А=А А+U=U А∙ U= А А+V=А А∙ V= V

АUА=А А∩А=А А+Ω=Ω А∩Ω=А АU V=А А∩0=0

Законы:

1. переместительный (коммутативный)

А+В=В+А

АВ=ВА

2. сочетательный (ассоциативный)

(А+В)+С=АВ+ВС

(АВ)С=А(ВС)

3. распределительный (дистрибутивный)

А(В+С)=АВ+АС

А+(ВС)=(А+В)(А+С)

События, наступающие, когда не наступает событиеА, называется противоположным событию А(или ).

U=v V=U А=А А+ А=U

↓ТМП ↓ТМП ↓ТМП

Ω=0 0=Ω А+ А=Ω

А А=V

A∩ A=0

Правило де Моргана (А+В)= А+ В

(АВ)= А+ В

А и В – несовместные, если пересечение А и В=0 (А∩В=0)

Событие А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу, если Uⁿ_i=1A_i=Ω

Р(А) – вероятность события А

Событию А ставится в соответствие числу Р(А)

Аксиомы:

• вероятность А заключена между 0 и 1( ) (1.7)

• Р(V)=0, Р(U)=1 (1.8)

• Если А и В несовместные события(А∩В=0), то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (1.9)

Р(А)= _ωi€AР(ω_i) (1.10)

Н а основании (1.8) получим Р(Uⁿ_i=1ω_i)=P(Ω)=1

Н а основании (1.9) получим Р(Uⁿ_i=1ω_i)= ⁿ_i=1P(ω_i)

ⁿ_i=1P(ω_i)=1

Тогда все элементы события равновозможные.

Р(ω₁)= Р(ω₂)=…= Р(ω_n)=1/n

|A|=m(А)

Мощность множества А – числоточек, входящих в А

Подставим в (1.10) |A|=m(А):

Р(А)= m(А)/n

Пространство элементарных событий Ω с заданным на нем распределением вероятности называется вероятностным пространством.