Вопрос 14. Плотность распределения системы 2-х случайных величин.

P((x,y) Є R_∆) = F(x+∆x, y+∆y) – F(x, y+∆y) – F(x+∆x, y) + F(x, y)

P((x, y) Є R∆) δ²F(x, y)

Lim = —————— = ——— = F''_xy(x, y)

∆x→0 ∆ x∆ y δx δy

∆ y→0

δ²F(x, y)

f(x, y) = ——— (3.4) – плотность распределения системы двух непрерывных случайных

δx δy величин или совместная плотность 2-х случайных величин.

f(x, y)dxdy – элемент вероятности попадания в прямоугольник со сторонами dx и dy.

P((x,y) Є D)=∫ ∫f(x,y)dxdy (3.5)

D

Если D представляет собой прямоугольник R, то вероятность попадания случайной точки:

β δ

P((x,y) Є R)= ∫ ∫f(x)dxdy (3.6)

αγ

Используя 3.6, можем получить:

x y

F(x,y)= ∫ ∫f(x,y)dxdy (3.7)

-∞-∞

Основные свойства совместной плотности распределения

1˚. f(x,y)≥0, т.к. исходная функция неубывающая и f’>0.

+∞+∞

2˚. ∫ ∫f(x,y)dxdy = 1 (3.8) – условие нормировки

-∞-∞

x +∞

F₁(x)=F(x,+ ∞) = ∫ ∫f(x,y)dxdy

-∞-∞

+∞

f₁ (x)=F’₁ (x)= ∫ f(x,y)dy (3.9)

-∞

+∞

f₂ (y)=F’₂ (y)= ∫ f(x,y)dx (3.10)

-∞

Вопрос 15.

Условные законы распределения.

Закон распределения, вычисленный при условии, что случайная величина Y приняла значение y.

F₁(x/y), F₂(y/x) – условные функции распределения.

f₁(x/y), f₂(y/x) – условные плотности распределения.

f(x,y) = f₁(x) f₂(y/x) = f₂(y) f₂(x/y) (3.11) - теорема умножения законов распределения.

f(x,y)

f₂(y/x) = ———

f₁(x)

(3.12)

f(x,y)

f₁(y/x) = ———

f₂(y)

f (x,y)

f₂ (y/x) = —————

_+∞

∫ f(x,y)dy

^-∞ (3.13)

f (x,y)

f₁ (x/y) = —————

_+∞

∫ f(x,y)dx

^-∞

Зависимость и независимость случайных величин взаимна. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них независит от того, какое значение примет другая, т.е.:

f₁ (x/y) = f₁ (x), f₂ (y/x) = f₂ (y) (3.14) - условие независимости.

Если нет знака равенства, то случайные величины называют зависимыми.

Для независимых случайных величин: f(x,y) = f1(x)f2(y) (3.15)

x и y называются функционально зависимыми, если зная значение одного из них, можно точно указать значение другой.

Например:

Функциональная зависимость: Y = 2X² X = 2 → Y = 8

Вероятностная или стахостическая зависимость: если мы знаем X, то можем указать закон распределения Y.

С увеличением степени тесноты вероятностной зависимости, то мы приходим в пределе к функциональной зависимости. Если вероятностная зависимость убывает — независимые величины.

НЗ‹——ВЗ——›ФЗ