Вопрос 9. Математическое ожидание. Дисперсия, среднеквадратичное отклонение.

Математическое ожидание указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.

Обозначается М(Х) , м_х, ¯х

х х₁ х₂ х_n

p p₁ p₂ … p_n

Найдем средневзвешенное значение, где веса – вероятности.

М(Х)=(х₁р₁+…+х_nр_n)/(p₁+…+p_n)=Σⁿ_i=1x_ip_i/Σⁿ_i=1p_i

1

M|X|=|для ДСВ|Σⁿ_i=1x_ip_i (2.8)

M^*(X) – среднее арифметическое, наблюдаемое случайной величины

х ₁-m₁

х₂-m₂ Σⁿ_i=1m_i=N

…

х_n-m_n

M ^*(x)=(m₁x₁+…m_nx_n)/(m₁+…+m_n)=Σⁿ_i=1m_i/N*x_i= Σⁿ_i=1p^*_i=1p^*_ix_i

N

m_i/N=p^*_i→p_i, M^*(х)→M(х)

Для НСВ: ^∞_-∞∫хf(x)dx (2.9)

Характеристика рассеивания – дисперсия.

Пусть имеется х – случайная величина с М(х).

Центрированная случайная величина Х⁰ – разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием

Х⁰=Х-М(х)

М(Х⁰)=|ДСВ|=М(Х-м_х)p_i=Σⁿ_i=0x_ip_i-m_xΣⁿ_i=1p_i=m_x-m_x=0

Дисперсия – Д(х), Д_х – математическое ожидание квадрата соответствия центрированной случайной величины, то есть Д(х)=М[Х^{0 2}]=М[(x-m_x)²] (2.10)

ДСВ: Д(х)=Σⁿ_i=1(x_i-m_x)²p_i (2.11)

HCB: Д(х)=^∞_-∞∫(x_i-m_x)²f(x)dx (2.12)

Д(х) имеет размерность квадрата случайной величины

Среднее квадратичное отклонение – σ(х), σ_х= (2.13)

Вопрос 10. Моменты распределения.

Моменты распределения – характерные свойства распределения

Начальным моментом k-порядка случайной величины Х α _k(х) называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины.

α _k(х)=М(х^к) (2.14)

ДСВ: α _k(х)= Σⁿ_i=1х^k_ip_i

НСВ: α _k(х)= ^∞_-∞∫х^k f(x)dx

М(х)= α ₁(Х) – первый начальный момент

Центральный момент k-ого порядка случайной величины Х – μ_k(x) называется математическим ожиданием k-ой степени, соответствующей центрированной случайной величины.

μ_k(x)=М(Х^{0 k}), k=1,2… (2.15)

ДСВ: μ_k(x)= Σⁿ_i=1(Х_i-m_x)^kp_i

HCB: μ_k(x)= ^∞_-∞∫(Х_i-m_x)^k f(x)dx

Д(х)= μ₂(x)

μ₁(x)=М(Х⁰)=0

α _k(х)↔ μ_k(x)

μ₂(x)↔ α ₂(х)

μ₂(x)= М(Х^{0 2})= Σⁿ_i=1(Х_i-m_x)²p_i= Σⁿ_i=1Х²_ip_i-2m_x Σⁿ_i=1Х²_ip_i+m_x² Σⁿ_i=1p_i= α ₂(х)-2m_x²+ m_x²= α ₂(х)- m_x² (2.16)

Д(х)=M(X²)-(M(X))² (2.17)

Вопрос 11. Биномиальный закон распределения (закон распределения Дискретной Случайной Величины).

Р_n(m)=C^m_np^m(1-p)^n-m – функция Бернулли.

Определим на Ω^* составного эксперимента ДСВ x, равную числу появления события А в n опытах .

x_m+1=m, 0, … , n

P(X=m)=P_n(m)

ДСВ называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения : 0, … , n , а соответствующие вероятности P(X=m)= C^m_np^mq^n-m , для m=0, … , n

0<p<1, q=1-p

n, p – параметры биномиального распределения

Ряд распределения для случайной величины:

Х 0 1 … m … n

Р qⁿ C_n¹pq^n-m … C_n^mpq^n-m … pⁿ

Определим m_x:

М(х)=0* C_n⁰qⁿ+1* C_n¹pq^n-1+…+m* C_n^mpq^n-m +…+n* C_n^mpⁿ=n* C_n-1⁰pq^n-1+…+n* C_n-1^m-1p^mq^n-m+…+n* C_m-1^n-1pⁿ

^m* C_n^m=m*n!/(m!*(n-m)!)=n*(n-1)!/((m-1)!*(n-m)!)=n* C_n-1^m-1

M(x)=np{ C_n-1⁰q^n-1 +…+ C_n-1^m-1p^n-mq^n-m +…+ C_n-1^m-1p^n-1 }=np(q+p)^n-1=np, так как q+p=1

То есть M(x)=np

Д(x)=npq