10. Автоморфизмы элементов расширенного поля.

Автоморфизмом называется такое отображение элементов одного множества на элементы того же самого множества, при котором выполняются следующие аксиомы:

1)a,b Є Р, a*b=c; a’, b’ Є Р, a’*b’=c’. a изоморфно a’, b изоморфно b'. Тогда c изоморфно c’.

2)a Є GF( ). Тогда

Пример: GF( ) mod

a
0	0
1	1
2	2
x	2x
x+1	2x+1
x+2	2x+2
2x	2x+2
2x+1	x+1
2x+2	x+2

Алгоритмы:

1)Метод «решета»: основан на том, что неприводимый многочлен не может быть разложен в произведение многочленов меньших степеней. Для нахождения неприводимых многочленов методом «решета» находят все многочлены, приводимые над заданным полем и исключают из всего списка многочлены заданной степени;

2)Матричный метод: на основе одного неприводимого многочлена с помощью матрицы в виде формы Фребениуса;

3)Метод, основанный на внутренней (алгебраической) структуре поля:

Задается таблица автоморфизмов, и элементы этой таблицы считаются корнями многочлена f(z), минимального для данного элемента поля. Необходимый неприводимый многочлен запишем в виде: . Это является частным случаем для неприводимого многочлена степени m=2.

a		z
0	0	z
1	1	z+2
2	2	z-1
x	2x
x+1	2x+1
x+2	2x+2
2x	x
2x+1	x+1
2x+2	x+2

(z-x)(z-2x)= = ;

(z-x-1)(z-2x-1)= ;

(z-x-2)(z-2x-2)= -(x+2+2x+2)z+(x+2)(2x+2)=

10. Изоморфизмы элементов расширенного поля.

Изоморфизм – частный случай гомоморфизма, при котором каждому элементу из множества М соответствует только 1 элемент из множества М', то есть это взаимооднозначное соответствие М->M'.

a, b принадлежат М; a', b’ принадлежат M’. с=a*b; c’=a’*b’. Тогда с изоморфно с'.

Любое конечное поле является единственным с точностью до изоморфизма.

На примере GF( )={0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2}

Рассмотрим алгоритм нахождения изоморфизмов:

f(x1)= +1; f(x2)= + +2; f(x3)= +2 +2;

(a1)x + (a0) принадлежит GF( ); a0, a1 принадлежит GF( )

x2=(a1)x1+(a0)

2(a1)(a0)+a1=0

(a1)=1, (a0)=1; (a1)=2, (a0)=2;

(x2)=(x1)+1; (x2)=2(x2)+1;

(x2)->(x1)

0	0
1	1
2	2
(x2)	(x1)+1
(x2)+1	(x1)+2
(x2)+2	(x1)
2(x2)	2(x1)+2
2(x2)+2	2(x1)+1

Проверка по сложению: (x2)+2(x2)=0; (x1)+1+2(x1)+2=0;