10. Группы Диедро и Гамильтоновы группы.

D_n – группа диэдра (количество элементов 2n); D_n: a^n=e; b^2=e; ab=ba^(n-1); Группа, порождённая двумя инволюциями, называ- ется группой диэдра, или диэдром, а если она ещё и конечна, то конечным диэдром. Локально конечный диэдр _ это группа, которая является объ- единением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Группа, в которой любая пара сопряжённых элементов простого по- рядка порождает конечную группу с сохранением этого свойства по ко- нечным сечениям, называется группой Шункова.

14. Гомоморфизмы элементов мультипликативной группы g*(p)..

Гомоморфизмом называется такое отображение элементов одного µ a є M на элементы другого µ a’ є M’, при котором каждому элементу a’ є M’ будет соответствовать один или несколько элементов a є M и выполняться следующие отношения:

a, b є M a’, b’ є M’

c = a • b є M c’ = a’ • b’ є M’

a -> a’ = > c -> c’ b -> b’

Рассмотрим гомоморфизмы мультипликативной группы G*(p) = {1, 2, …, p-1}. Гомоморфизм задается следующим видом

a -> w(a)

w(a) є M’= > w(a) є G’

a є G*(p)

w(a) задает гомоморфизм w(a) = exp(i • 2π/k • ind_θ(a))

k – число делитель p-1 и оно задает k-значный характер элементов мультипликативной группы (k | p-1)

ind_θ(a) – показывает, в какую степень надо возвести θ, чтобы получить a

Пример:

Определим гомоморфизм G*(7), k | 7-1

Выберем θ группы, θ = 3

GF(7)

1 во все степени от 0 до 6

и так далее.

Какое значение не дает повторений типа а: 3^4 = 1 и 3^2=1.

т.е. 3 ^ 6 mod 7 = 1

k =1 первый гомоморфизм равный 1

При k=1 характер группы называется тривиальным, при этом гомоморфизм задается отображением всех элементов мультипликативной группы на один единичный элемент.

w(a) = exp(i • 2π • ind_θ(a)), все будет приходить в единицу, потому что период 2π

пр: 3 • 5 = 1

3 –> 1

5 - > 1

1 - > 1

k = 2 – второй гомоморфизм

w(a) = exp(i • π • ind_θ(a)),

пр: 2 • 6 = 5

2 –> 1

5 - > - 1

5 - > - 1

Ядром гомоморфизма Ker группы G называется группа, сформированная образами элементов группы G

16. Схема симметричного шифрования Вернана.

В криптографии шифр Вернама известен также как «схема одноразовых блокнотов»- системой симметричного шифрования.. Шифр Вернама – самая безопасная криптосистема из всех имеющихся. Три обязательных правила:

1. Ключ для шифрования выбирается случайным образом.

2. Длина ключа должна быть равна длине открытого текста.

3. Ключ должен использоваться ТОЛЬКО один раз.

шифр базируется на двоичной арифметике. Основным объектом рассмотрения в данном методе шифрования является логическая операция XOR (взаимоисключающее ИЛИ). все операции будут осуществляется над нулем (0) и единицей (1). Логическая операция XOR, в отличие от операции OR, при логическом сравнении 0 и 1 дает 1,  при сравнении 1 с 1 дает 0, а при 0 с 0 дает 0. Следовательно, если мы выполним операцию XOR над числами 10110 и 11010, то получим: 10110 xor 11010 = 01100.

буквы — это всего лишь некоторая интерпретация числа, то есть число является кодом символа некоторой таблицы кодировок. Таким образом, перед тем, как осуществить шифрование, необходимо перевести все символы в их однозначную числовую интерпретацию.. дайте каждой букве используемого вами алфавита, соответствующий ей порядковый номер в двоичной системе исчисления. Например, если вы используете русский алфавит (без учета буквы Ё) то это будет выглядеть так: а -> 00000, б -> 00001, в -> 00010, г -> 00011, … я -> 111111. Тем самым мы определили свою таблицу кодировки. После этого, написав сообщение и придумав ключ, преобразуйте каждый символ в их числовое значение, соответствующее вашей таблице кодировки, и после этого осуществляйте операцию XOR над каждой соответствующей парой. Так как данный метод шифрования является симметричным, следовательно, применив операцию XOR к каждой паре символов шифр-текста (шифрограммы) и ключа, мы получим открытый текст.