Вопрос 37. Метод приведения параллельных данных. Парная регрессия.

Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере. Сравним изменения двух величин:

Таблица 8.1.

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9
у	5	6	9	10	14	17	15	20	23

Мы видим, что с увеличением величины х величина у также возрастает. Можно сделать предположение, что связь между ними прямая и что ее можно описать или уравнением прямой, или уравнением параболы второго порядка.

Статистическую связь между двумя признаками можно изобразить графически и по графику судить о наличии, направлении и форме связи. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака, на оси ординат - результативного. На графике откладываются все единицы, обладающие определенными значениями х и у.

Соединив полученные точки нанесенных на график значений х и у прямыми линиями, получается ломаная, называемая «Ломаная регрессии». Число точек ломаной регрессии строго должно соответствовать числу единиц наблюдения, по которым даны значения обоих признаков. Кривая позволит судить о форме связи, об аналитическом ее выражении.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

прямой ;

параболы ; (8.1)

гиперболы и т.д.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически. Однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о наличии линейной связи между ними, а при обратной связи – гиперболической. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная функции.

Оценка параметров уравнения регрессии (а₂ – в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели ( ), при котором минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

; (8.2)

,

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнениях регрессии параметр а₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр а₁ (а в уравнении параболы и а₂) – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

Пример. По данным о сумме активов и кредитных вложений коммерческих банков Белоруссии необходимо определить направление и тесноту связи между признаками. Данные в таблице 9.2 представлены после предварительной их обработки методом приведения параллельных данных. Сопоставив полученные ряды данных х и у, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение кредитных вложений увеличивает сумму активов коммерческих банков. Исходя из этого можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и ее можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа:

Рис. 8.1. Зависимость суммы активов коммерческих банков от кредитных вложений.

Анализ данного рисунка показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

Определим параметры уравнения прямой на основе метода наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений (8.2). Исходные данные и расчетные показатели представим в табл. 8.2.

№	Банк	Кредитные вложения, млрд.нац.руб. х	Сумма активов, млрд.нац. руб.у		ху
1	Комплексбанк	311	518	96721	161098	1140,6
2	Белорусбанк	658	1194	432964	785652	1502,5
3	Приорбанк	783	2941	613089	2302803	1632,9
4	Белбизнесбанк	1142	1865	1304164	2129830	2007,3
5	Белпромстрой-банк	1319	1997	1739761	2634043	2191,9
6	Белагропром-банк	1962	3066	3849444	6015492	2862,4
7	Белкомбанк	2496	3176	6230016	7927296	3419,4
Итого		8671	14757	14266159	21956214	14757,0

Следовательно, с увеличением кредитных вложений на 1 млрд. нац.руб. сумма активов возрастает в среднем на 1,0429 млрд нац.руб.

Модель регрессии может быть построена как по индивидуальным значениям признака (табл. 8.2), так и по сгруппированным данным (табл. 8.3). Для выявления связи между признаками по достаточно большому числу наблюдений используется корреляционная таблица. В корреляционной таблице можно отобразить только парную связь, т.е. связь результативного признака с одним фактором, и на ее основе построить уравнение регрессии и определить показатели тесноты связи. Само уравнение регрессии может иметь линейную, параболическую и другие формы. При определении параметров модели регрессии и коэффициентов связи по корреляционной таблице не теряется информация о связи, обусловленная усреднением данных. Для составления корреляционной таблицы парной связи статистические данные необходимо предварительно сгруппировать по обоим признакам (х и у), затем построить таблицу, по строкам в которой отложить группы результативного, а по столбцам – группы факторного признаков.

Корреляционная таблица (пример табл. 8.3) дает общее представление о направлении связи. Если оба признака (х и у) располагаются в возрастающем порядке, а частоты (f_ху) сосредоточены по диагонали сверху вниз направо, то можно судить о прямой связи между признаками. В противном случае – об обратной. О тесноте связи между признаками х и у по корреляционной таблице можно судить по кучности расположения частот вокруг диагонали (насколько заполнены клетки таблицы в стороне от нее). Если клетки заполнены большими цифрами, то связь слабая. Чем ближе частоты (f_ху) располагаются к одной из диагоналей, тем теснее связь. Если в расположении частот (f_ху) нет системности, то можно судить об отсутствии связи.

Рассмотрим анализ статистических данных по корреляционной таблице на следующем примере.

Пример. По данным группировки 40 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции построим уравнение связи (табл. 8.3).

Решение. Анализ таблицы показывает, что частоты (f_ху) расположены по диагонали сверху вниз, что свидетельствует о наличии прямой связи между объемом произведенной продукции и балансовой прибылью. Также наблюдаются концентрация частот (f_ху) вокруг главной диагонали и незаполненность оставшихся клеток, поэтому можно предположить достаточно тесную связь между рассматриваемыми признаками.

Расчет и анализ средних значений по группам факторных признаков х подтверждает наличие прямолинейной зависимости между х и у.

Считая, что зависимость описывается уравнением прямой, коэффициенты а₀ и а₁ определим из системы нормальных уравнений вида:

;

.

Так как значения признаков у и х заданы в определенных интервалах, то для каждого интервала сначала необходимо определить середину интервала (х и у), а затем уже по ним строить уравнение регрессии.

Таблица 8.3.

Балансовая прибыль, млн руб.у	Объем произведенной продукции, млн руб., х
		300-400	400-500	500-600	600-700	700-800
		350	450	550	650	750
10-20	15	2					2	30	10500
20-30	25	4	1				5	125	46250
30-40	35	2	5	4			11	385	180250
40-50	45		3	8	2		13	585	317250
50-60	55			2	4	3	9	495	327250
	-	8	9	14	6	3	40	1620	881500
	-	2800	4050	7700	3900	2250	20700	-	-
	-	980000	1822500	4235000	2535000	1687500	11260000	-	-
	-	25,0	37,2	42,6	51,7	55,0	-	-	-

Покажем промежуточные расчеты:

По первой группе: ; ; ; .

По второй группе: ; ; ; ; .

Аналогичным образом получены все остальные расчетные значения в таблице.

Таким образом, подставив в систему уравнений итоговые значения из табл. 8.3, получим:

;

.

Отсюда: а₀= -0,9; а₁= 0,08.

Следовательно: .

Параметр уравнения регрессии показывает, что с увеличением объема выпускаемой продукции на 1 млн руб. балансовая прибыль возрастает на 80 тыс. руб.

Если связь между признаками у и х криволинейная и описывается уравнением параболы второго порядка:

, то система нормальных уравнений имеет вид:

;

;

.

Оценка обратной зависимости между х и у, когда с увеличением (уменьшением) х уменьшается (увеличивается) значение результативного признака у, может быть осуществлена на основе уравнения гиперболы вида: .

Система нормальных уравнений для нахождения параметров гиперболы следующая:

;

.