Вопрос 43. Ранговые коэффициенты Кендалла. Коэффициент конкордации.
Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (τ) может также использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле
,где
n
– число наблюдений;
S
– сумма разностей между числом
последовательностей и числом инверсий
по второму признаку.
Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:
1) значения х ранжируются в порядке возрастания или убывания;
2) значения у располагаются в порядке, соответствующем значениям х;
3) для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по х и у. Она учитывается со знаком «плюс»;
4) для каждого ранга у определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком «минус»;
5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.
Если в изучаемой совокупности есть связные ранги, то расчеты необходимо проводить по следующей формуле:
,где
.
Рассмотрим расчет коэффициента корреляции рангов Кендалла для случая наличия связных рангов.
;
.
;
;
.
Связь сильная.
Связь между признаками можно признать статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.
Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле:
,где
m
– количество факторов; n
– число наблюдений; S
– отклонение суммы квадратов рангов
от средней квадратов рангов.
Пример. По данным табл. 8.4. определить зависимость между основными показателями деятельности коммерческих банков Белоруссии. В таблице, приведенной ниже, дается расчет коэффициента конкордации.
Решение.
Банк |
Стоим-ть активов, млрд нац. руб. |
Кредит. Вложения, млрд нац. руб. |
Собствен. капитал, млрд нац. руб. |
|
|
|
Сумма строк (рангов) |
Квадраты сумм |
1 |
3176 |
2496 |
209 |
7 |
7 |
7 |
21 |
441 |
2 |
3066 |
1662 |
201 |
6 |
6 |
6 |
18 |
324 |
3 |
2941 |
783 |
177 |
5 |
3 |
5 |
13 |
169 |
4 |
1997 |
1319 |
136 |
4 |
5 |
3 |
12 |
144 |
5 |
1865 |
1142 |
175 |
3 |
4 |
4 |
11 |
121 |
6 |
1194 |
658 |
88 |
2 |
2 |
2 |
6 |
36 |
7 |
518 |
311 |
60 |
1 |
1 |
1 |
3 |
9 |
Итого |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
84 |
1244 |
Значимость коэффициента конкордации проверяется на основе - критерия Пирсона:
.Для
нашего примера:
.
Расчетное
значение
>
(α
= 0.05; v
= n
– 1 = 7 – 1 = 6 ), что подтверждает значимость
коэффициента конкордации и свидетельствует
о сильной связи между рассматриваемыми
признаками.
В
случае наличия рангов коэффициент
конкордации определяется по формуле
,
где
;
Проверка
значимости осуществляется по формуле:
.
Коэффициент конкордации принимает любые значения в интервале [-1;1].
Ранговые коэффициенты Спирмена, Кендалла и конкордации имеют преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между количественными, так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.