Вопрос 40. Оценка существенности корреляции.

Собственно - корреляционные параметрические методы изучения связи. Оценка существенности корреляции.

Изменение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции.

В статистической теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул расчета данного коэффициента:

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле: .

Линейный коэффициент корреляции может быть также выражен через дисперсии слагаемых:

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, которую можно математически выразить следующей формулой: , где - коэффициент регрессии в уравнении связи; - среднее квадратическое отклонение соответствующего факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1: - 1 < r < 1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента можно представить в следующей таблице:

Таб. 8.5. Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента корреляции	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением х увеличивается у
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением х уменьшается у, и наоборот
r = 1	функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента:

Если расчетное значение t_p > t_kp (табличное), то гипотеза H₀: r_yx = 0 отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической зависимости между х и у.

Пример. По данным таблицы 8.4. оценить тесноту связи между стоимостью активов (у) и кредитными вложениями (х₁), используя различные модификации расчета линейного коэффициента корреляции. Проверить его значимость.

Решение.

; ;

; ;

;

;

. Связь прямая, сильная.

Найдем линейный коэффициент корреляции используя другую формулу:

Результаты идентичны.

Проверим значимость : ;

.

Так как , то коэффициент корреляции значим.

Теснота связи при криволинейной зависимости измеряется с помощью корреляционного отношения. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение: .

По данным таблицы 8.3, а также рассчитав и , можно определить эмпирическое корреляционное отношение. Для этого построим вспомогательную таблицу:

25.0	-15,5	240,25	8	1922,00
37.2	-3,3	10,89	9	98,01
42.6	2,1	4,41	14	61,74
51.7	11,2	125,44	6	752,64
55.0	14,5	210,25	3	630,75
Итого	-	-	40	3465,14

Следовательно,

Эмпирическое корреляционное отношение

. Связь сильная.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативными и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

,

где - дисперсия теоретических значений результативного признака, рассчитанная по уравнению множественной регрессии; - остаточная дисперсия; - общая дисперсия результативного признака.

В случае оценки тесноты связи между результативным (У) и двумя факторными признаками (х₁ и х₂) множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле

,где r- парные коэффициенты корреляции между признаками.

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется на основе F- критерия Фишера:

Гипотеза H₀ о незначимости коэффициента множественной корреляции (H₀ : R = 0) отвергается, если F_p > F_kp (; v₁ = 2; v₂ = n – 3).

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 < R < 1.

Пример. По данным табл. 8.4. рассчитать коэффициент множественной корреляции и проверить его значимость

Решение. ,

где - парные коэффициенты корреляции между признаками =0,78; =0,95; .

=0,95.

Связь сильная, факторы х₁ и х₂ практически полностью обуславливают величину у.

Проверим значимость коэффициента множественной корреляции.

Гипотеза о незначимости коэффициента корреляции отвергается, так как F_kp=6.94 (=0.05; v₁=2, v₂=n – 3 =4).

F_p=18.51 > F_kp = 6.94.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х₁ и х₂ при фиксированном значении других факторных признаков, т.е. когда влияние х₃ исключается (в этом случае оценивается связь между х₁ и х₂ в «чистом виде»).

В случае зависимости у от двух факторных признаков х₁ и х₂ коэффициент частной корреляции принимает вид:

; ,

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х₁.

Пример. По данным таблицы 8.4. рассчитать частные коэффициенты корреляции и проверить их значимость.

Решение.

; ; .

;

.