Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд (полученный умножением данного ряда на число )также сходится и имеет сумму .

2.Если ряды и сходятся и их суммы равны и , то и ряд также сходится и его сумма равна .

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов. Поэтому сумму ряда (13.3) можно представить в виде: , где - остаток ряда (после отбрасывания первых членов): .

4. Для того, чтобы ряд (13.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы .

Необходимый признак сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю: .

Доказательство. Представим -й член как . Поскольку ряд сходится, то , поэтому .

Пример. Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда .

Решение. , т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

Замечание. Следует отметить, что условие является необходимым, но не является достаточным условием сходимости ряда.

45. Гармонический ряд и его расходимость (доказать). Расходимость гармонического ряда

Рассмотрим ряд: , который носит название гармонического ряда.

Для гармонического ряда необходимый признак сходимости выполнен: .

Однако это не означает, что ряд сходится.

Покажем это. Рассмотрим частичные суммы ряда и :

Найдем разность :

.

Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим , придем к вспомогательному неравенству:

или .

Если бы гармонический ряд сходился, тогда , а мы имеем . Это значит, что гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование с помощью достаточных признаков сходимости ряда.

46. Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами

1. I - й признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами: (1) и (2), причем члены 1-го ряда не превосходят членов 2-горяда, т.е. при любом . Тогда а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1),

б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Пример. Исследовать сходимость ряда: . Решение. Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом: (его знаменатель ). Т.к. члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда и вообще , то на основании признака сравнения ряд сходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд - сходится при , расходится при ,

б) гармонический ряд - расходится,

в) обобщенный гармонический ряд сходится при , расходится при .

2. II - й признак сравнения. Если и - ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом . Т.к. , то данный ряд расходится, так же как и гармонический.

3) Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения члена к -му члену : . Тогда, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится, если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Так как , то применяя признак Даламбера, имеем . Следовательно, ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда с помощью признака Даламбера. Решение. (вопрос открыт).

4. Интегральный признак сходимости. Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. , а функция , определенная при , непрерывная и не возрастающая и . Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Пример. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда . Решение. Пусть . Функция при (и конечно при ) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла . а) если , то . б) если , то

Итак, ряд сходится при и расходится при .