Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:
Число называется собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору .
Можно записать в матричной форме:
, где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:
Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:
или
в матричном виде:
.
Полученная однородная система всегда
имеет нулевое решение. Для существования
ненулевого решения необходимо и
достаточно, чтобы определитель системы:
.
Определитель является многочленом n-й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.
Пример:
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .
Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственное значение линейного оператора .
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:
или , или , откуда находим: , или
, или .
Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .
Аналогично, вектор .
8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений с неизвестными
Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.
Система
линейных уравнений с
переменными имеет вид:
,
где
(
)
- произвольные числа, называемые
коэффициентами
при переменных
и свободными
членами уравнений,
соответственно.
Краткая запись:
(
).
Определение.
Решением системы называется такая
совокупность значений
,
при подстановке которых каждое уравнение
системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).
Запишем систему в матричной форме:
Обозначим: , где
А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.
Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение:
Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: .
Теорема Крамера.
Пусть
- определитель матрицы
системы, а
- определитель матрицы, получаемой из
матрицы
заменой
-го
столбца столбцом свободных членов.
Тогда, если
,
то система имеет единственное решение,
определяемое по формулам:
,
- формула Крамера.