- •1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
- •Виды матриц:
- •Операции над матрицами
- •Свойства операций сложения и умножения матриц
- •Возведение в степень.
- •Транспонирование матриц.
- •Свойства операции транспонирования.
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца. Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления. Обратная матрица
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример. Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы:
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы. Линейная независимость строк матрицы
- •6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.
- •Произведением вектора на число :
- •Скалярное произведение
- •Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:
- •Размеренность и базис векторного пространства
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
- •Пример:
- •Запишем систему в матричной форме:
- •Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
- •Пример. Методом Гаусса решить систему:
- •Метод обратной матрицы.
- •11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
- •Решение системы линейных уравнений с неизвестными
- •12. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Основные свойства функций
- •13. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая). Элементарная функция
- •Основные элементарные функции
- •14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести). Уравнение линии на плоскости
- •Взаимное расположение двух линий
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Точка пересечения прямых
- •15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой и его исследование
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
- •16. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции). Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •17. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). Предел функции в точке
- •Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. Второй замечательный предел.
- •20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры. Непрерывность функции
- •Свойства функций, непрерывных в точке
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •Точки разрыва функции
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. Определение производной
- •Задача о касательной
- •22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему). Понятие дифференцируемости функции
- •Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью
- •23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •24. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Производная сложной функции
- •25. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •26. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать). Признаки возрастания и убывания функции.
- •27. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).
- •28. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).
- •29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
- •30. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •34. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать). Понятие первообразной и неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла
- •38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •39. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства). Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
- •41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса.
- •Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •43. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
- •Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
- •Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •44. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.
- •Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма
- •Свойства сходящихся рядов
- •Необходимый признак сходимости
- •45. Гармонический ряд и его расходимость (доказать). Расходимость гармонического ряда
- •46. Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами
- •47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •Знакопеременные ряды
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена
Произведением вектора на число :
Будет вектор, имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .
Противоположным вектором - называется произведение вектора - на число (-1), т.е. - = .
Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.
Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора - , противоположного .
Скалярное произведение
Определение: Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
n-мерный вектор и векторное пространство
Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = (х1,х2,…,хn), где хi – i-я компонента вектора х.
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х1,х2,…,хn), а соответствующие цены у = (у1,у2,…,уn).
- Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х=у, если хi = уi, i = 1,2,…,n.
- Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. zi = xi + yi, i = 1,2,…,n.
- Произведением вектора х на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е. , i = 1,2,…,n.
Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:
1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;
2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;
3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;
4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;
8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).
Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствами (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным состоянием.
Размеренность и базис векторного пространства
Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.