2. Волновая оптика.

2.1. Интерференция света.

Для решения задач по этой теме нужно изучить по учебному пособию И. В. Савельева "Курс общей физики", т.2, §§119-122.

Интерференция волн возможна лишь в случае, если волны когерентные. Обычно два любых независимых источника света не являются когерентными. Когерентные световые волны можно получить, разделив с помощью некоторой оптической системы волну, излучаемую одним источником, на две части. Соответствующие две волны, пройдя различные оптические пути, накладываются, создавая интерференционную картину.

Задачи на интерференцию света делятся в основном на две группы.

К задачам первой группы относятся случаи интерференции, полученной с помощью зеркала Ллойда, зеркал Френеля, в опыте Юнга и др. В этих задачах нередко для расчета интерференционной картины удобно данную оптическую систему заменить другой, эквивалентной, считая при этом, что имеется не один, а два когерентных источника (примеры 9, 10).

Вторую группу составляют задачи на интерференцию в плоскопараллельных, клинообразных тонких слоях, а также задачи на кольца Ньютона. При решении этих задач следует обратить внимание на то, что разность фаз когерентных волн при встрече, а следовательно, результат интерференции, обусловлены двумя причинами: оптической разностью хода и условиями отражения обеих волн.

Если отражение происходит от границы с оптически более плотной средой, фаза волны претерпевает изменение на .

Если отражение происходит от границы с оптически менее плотной средой, то скачка фазы не происходит.

24

Пример 9. Источник монохроматического света ( = 0,5 мкм) и плоское зеркало М расположены, как показано на рисунке. Определить: 1) что будет наблюдаться на экране в точке Р, где сходятся лучи SP и S₁МP – усиление или ослабление освещенности, если SP = L = 1 м, и а = 2 мм, SМ = МР, 2) как изменится освещенность в точке Р, если на пути луча SP перпендикулярно к нему поместить плоскопараллельную пластинку стекла (n = 1,55) толщиной h = 6 мкм?

Дано:

 = 0,5·10^–6 м

L = 1 м

а = 2·10^–3 м

h = 6·10^–6 м

n = 1,55

Р ешение:

Источник света S и его изображение в зеркале S₁ можно рассматривать как два источника когерентных волн, идущих по направлениям SP и S₁МP. В результате их наложении в точке экрана Р будет наблюдаться интерференция, т.е. либо усиление, либо ослабление освещенности.

Условие ослабления или усиления света определяется величиной оптической разности хода волн .

Если разность хода кратна нечетному числу длин полуволн, т.е. , где m = 0, 1, 2, ..., то наблюдается минимум освещенности, если , т.е. кратна четному числу длин полуволн, то наблюдается максимум освещенности.

1) Рассмотрим оптическую разность хода в первом случае. Так как волны идут в воздухе, то можно считать оптическую длину пути равной геометрической длине пути.

25

Путь первой волны:

SP = L.

Путь второй волны:

.

Геометрическая разность хода рассматриваемых волн:

.

Используем разложение в степенной ряд:

.

Ограничимся двумя первыми членами разложения. Это можно сделать, т.к. <<1.

Получим:

.

Для определения полной оптической разности хода учтем, что вторая волна отражается от среды оптически более плотной (зеркало), чем та среда, в которой она распространялась (воздух), следовательно, при отражении фаза волны меняется на  = . В оптической разности хода появится добавочный член, соответствующий этой разности фаз.

На основании формулы, связывающей разность фаз с разностью хода:

,

можно найти:

или .

26

Таким образом, полная оптическая разность хода интерферирующих волн будет равна:

.

Сравним ₁ с :

.

– нечетное число, следовательно, в точке Р будет наблюдаться минимум освещенности.

2) Если поместить на пути луча SP стеклянную пластинку, то изменится оптическая длина пути первой волны, она складывается из оптической длины пути в воздухе (L – h)n_воздух (h – толщина стеклянной пластинки), и оптической длины пути в стеклянной пластинке hn_стекло. Вся оптическая длина пути первой волны будет равна (здесь учтено что n_воздух = 1, n_стекло = n):

,

Оптическая длина пути второй волны остается прежней

.

Таким образом, оптическая разность хода волн:

.

Сравним ₂ с :

.

–четное число, следовательно, в точке Р будет наблюдаться максимум освещенности.

27

Примет 10. Расстояние между щелями в опыте Юнга 0,5 мм. Расстояние от щелей до экрана 1 м. Опыт проводится с красным светом ( = 0,7 мкм). Определить расстояние между интерференционными максимумами на экране.

Дано:

d = 0,5·10^–3 м

L = 1 м

 = 0,7·10^–6 м

х = ?

Р ешение:

Пусть на экране Э, вдоль которого расположена ось 0х, в точке А с координатой x_m находится максимум m-го порядка, а в точке В с координатой x_m–1 находится максимум (m-1)-го порядка, тогда ширина интерференционной полосы х = x_m – x_m–1.

Для того, чтобы в точках А и В наблюдались максимумы, необходимо, чтобы оптическая разность хода волн, идущих от щелей S₁ и S₂, (двух когерентных источников света), была равна четному числу длин полуволн, или целому числу длин волн:

_m = S₂A –S₁A = m, где m = 0, 1, 2, … .

Из S₁AC по теореме Пифагора:

(S₁A)² = L² + (OA – OC)².

Из S₂AD по теореме Пифагора:

(S₂A)² = L² + (OA + OD)²,

где ОС = ОD = , ОА = x_m.

(S₁A)² = L² + ,

(S₂A)² = L² + .

Вычтем из второго уравнения первое:

28

(S₂A)² – (S₁A)² = L² + – L² – =

,

(S₂A – S₁A)·(S₂A + S₁A) = 2x_md.

Так как OA<<L, OC<<L, OD<<L, то можно положить:

S₁A = S₂A = L,

тогда получим:

_m·2L = 2x_md,

,

,

,

.

Ответ: х = 1,4 мм.

Пример 11. На толстую стеклянную пластинку (n₂ = 1,5), покрытую тонким слоем пленки (n₁ = 1,4), под углом i = 30° падает пучок лучей монохроматического света ( = 0,52 мкм). Определить минимальную толщину пленки, если отраженный свет максимально ослаблен.

Дано:

n₁ = 1,4

n₂ = 1,5

i = 30°

 = 0,52 10^–6 м

d_min = ?

Р ешение:

29

На границу раздела воздух - пленка падает плоская монохроматическая волна, угол падения которой i. На границе раздела волна частично отражается (1), частично преломляется (2). Угол преломления r. Преломленная волна, достигнув границы раздела пленка - стекло, также частично преломляется и частично отражается (2'). Волна 2', претерпев преломление на границе пленка - стекло, выходит в воздух (2"). Волны 1 и 2" будут когерентными и при наложении интерферируют.

Результат интерференции зависит от того, какому условию удовлетворяет оптическая разность хода.

Отраженный свет максимально ослаблен, следовательно, при интерференции выполняется условие минимума:

, где m = 0, 1, 2, ... .

Запишем оптическую разность хода волн 1 и 2'' (n_воздух = 1):

₁ = (AB + BC)n₁ – AD·n_воздух.

Если выразить величины через толщину пленки и угол падения, то получим:

.

Проанализируем условия отражения. Так как показатель преломления воздуха (n_воздух = 1) меньше показателя преломления вещества пленки (n₁ = 1,4), который в свою очередь меньше показателя преломления стекла (n₂ = 1,5), то в обоих случаях отражение происходит от среды оптически более плотной, чем та среда, в которой идет падающая волна.

Волна 1, отраженная от верхней поверхности пленки, изменит фазу на  и точно также на  изменится фаза волны 2, отраженной от нижней поверхности пленки. Добавочная разность фаз и разность хода не возникает _доб. = 0.

Таким образом, оптическая разность хода волн 1 и 2'':

.

Условие минимума освещенности:

.

30

Найдем толщину пленки d:

.

Минимальная толщина пленки, если m = 0:

.

Ответ: d_min = 0,1 мкм.

Пример 12. На стеклянный клин падает нормальный пучок света ( = 0,582 мкм). Угол клина равен 20'. Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина?

Дано:

 = 0,582·10^–6 м

 = 20'

n = 1,5

Р ешение:

Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани. Условный ход лучей показан на рисунке. В действительности падающий, отраженный и преломленный лучи направлены вдоль одной прямой. Отраженные пучки света 1 и 2 когерентны. Поэтому на поверхности клина будет наблюдаться интерференционная картина. Картина имеет вид чередующихся светлых и темных полос, положение которых определяется условиями max и min при интерференции.

Темные полосы видны в тех местах, где оптическая разность хода интерферирующих волн:

, где m = 0, 1, 2, ... .

31

Полная оптическая разность хода волн 1 и 2 складывается из разности оптических длин путей этих волн ₁, и добавочной разности хода _доб., возникающей за счет разных условий отражения.

Из чертежа видно, что путь волны 1 короче пути волны 2 на 2d_m, где d_m – толщина клина, соответствующая m-му минимуму. Вторая волна проходит путь 2d_m в стекле с показателем преломления n, поэтому оптическая разность хода волн I и 2 будет:

₁ = 2d_mn.

Рассмотрим условия отражения на верхней и нижней поверхностях клина.

Луч 1 отражается от стекла, т.е. от среды оптически более плотной, чем среда, в которой шел падающий луч (воздух), следовательно фаза волны, отраженной от верхней поверхности клина, меняется на .

Луч 2 отражается от границы стекло – воздух, т.е. от среды оптически менее плотной, и фаза волны, отраженной от нижней грани клина, не меняется.

Следовательно, у волн, отраженных от верхней и нижней граней клина, появляется добавочная разность фаз _доб. = , которой соответствует добавочная разность хода .

Итак, полная разность хода интерферирующих волн:

.

Для минимума m-го порядка можно записать уравнение:

. (1)

Аналогично для минимума k-го порядка:

. (2)

Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:

,

.

32

( d_m – d_k) можно определить из ABC

d_m – d_k = АС·sin,

тогда

2n·AC·sin = (m – k),

где (m – k) – число интерференционных полос, уложившихся на длине АС. Отсюда число полос на единице длины клина

.

Угол  мал, поэтому sin=, если угол  выражен в радианах.

Переведем 20' в радианы:

.

.

Ответ: на единице длины клина в условиях данной задачи укладывается 3 10⁴ полос на 1 м или 30полос на 1мм.

Пример 13. Установка для получения колец Ньютона освещается белым светом, падающим нормально. Найти:1). радиус четвертого синего кольца (₁ = 0,4 мкм), 2) радиус третьего красного кольца (₂ = 0,63 мкм). Наблюдение производится в проходящем свете. Радиус кривизны линзы 5 см.

Дано:

m₁ = 4

₁ = 0,4·10^–6 м

m₂ = 3

₂ = 0,63·10^–6 м

R = 0,05 м

r₁ = ?

r₂ = ?

Р ешение:

33

Для наблюдения колец Ньютона берется установка, состоящая из плоскопараллельной пластинки и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны R. Между пластинкой и сферической поверхностью линзы образуется воздушный слой. Кольца Ньютона можно наблюдать как в отраженном свете, так и в проходящем.

Падающая волна частично отражается от верхней поверхности воздушного слоя, а частично преломляется. Преломленная волна достигнув нижней поверхности воздушного слоя, также частично преломляется (луч1), и частично отражается. То же самое вновь происходит с отраженной волной на верхней, а затем на нижней поверхностях воздушного слоя. Таким образом, образуются две когерентные волны 1 и 2, которые могут интерферировать.

Интерференционная картина имеет вид колец, т.к. геометрическое место точек с одинаковой толщиной воздушного слоя d_m, расположено по окружности.

Светлые кольца будут наблюдаться там, где полная оптическая разность хода волн 1 и 2

 = m, где m = 0, 1, 2 ... .

Поскольку радиус кривизны линзы R большой, угол падения на верхнюю поверхность воздушного слоя, близок к нулю. Можно считать, что оптический путь у волны 2 больше, чем у волны 1 на 2d_mn. Так как среда, заполняющая пространство между линзой и пластинкой, воздух, то n = 1 и оптическая разность хода волн

₁ = 2d_m.

Рассмотрим условия отражения волн. Волна 1 не отражается нигде, волна 2 отражается дважды: от пластины и сферической поверхности линзы, т.е. отражение происходит в обоих случаях от среды оптически более плотной чем та, в которой шла волна до отражения. Следовательно волна 2 дважды претерпевает изменение фазы на , поэтому добавочная разность фаз будет кратна 2 и добавочная разность хода будет равна нулю

_доб. = 0.

 = ₁ + _доб. = 2d_m.

34

Для светлых колец

2d_m = m. (1)

Рассмотрим OAB: ОA = R – радиус кривизны линзы,

AB = r_m – радиус m-го кольца,

OB = R – d_m.

По теореме Пифагора

ОА² = ОВ² + АВ²,

R² = (R – d_m)² + r_m²,

R² = R² –2Rd_m + d_m² + r_m²,

d_m² – очень малая величина, поэтому ей можно пренебречь

r_m² = 2Rd_m. (2)

Из уравнения (1) найдем d_m:

,

и подставим в формулу (2):

,

.

Отсюда видно, что радиусы колец Ньютона зависят для данной установки (R = const) от номера кольца и длины световой волны.

Если установка освещается белым светом, то для каждой длины волны будет свой радиус при m = const, т.е. светлые кольца будут спектральными.

Определим радиусы r₁ и r₂:

,

.

Из полученных результатов следует, что максимумы третьего и четвертого порядка перекрываются, т.к. радиус синего кольца в максимуме высшего порядка (m₁ =4) меньше радиуса красного кольца в максимуме низшего порядка (m₂ =3).

Ответ: r₁ = 0,28 мм, r₂ = 0,31 мм.

35