2.2. Дифракция света.

Для решения задач по этой теме нужно изучить §§125-130 по учебному пособию И.В. Савельев "Курс общей физики", т.2.

Решить дифракционную задачу – значит найти относительное распределение освещенности на экране в зависимости от размеров и формы неоднородностей, вызывающих дифракцию.

Различают два вида дифракции: дифракция в параллельных лучах или дифракция Фраунгофера и дифракция Френеля.

Критерий, позволявший определить, о каком виде дифракции - Френеля или Фраунгофера - идет речь в каждом конкретном случае рассмотрен в выше названном пособии в параграфе "Дифракция Фраунгофера от щели" (§129).

Задачи на дифракцию света можно разделить на три группы: задачи на дифракцию Френеля от простейших преград, задачи на дифракцию Фраунгофера от щели и дифракционной решетки.

Условие минимумов для дифракционной щели:

,

где b – ширина щели,

 – угол под которым виден минимум,

 – длина падающей волны,

m = 1, 2, … – порядок минимума.

Условие максимумов для дифракционной щели (если  = 0 также наблюдается максимум, который данная формула не дает):

,

где m = 1, 2, … – порядок максимума.

Условие главных максимумов для дифракционной решетки:

,

где d – период решетки,

 – угол, под которым виден максимум,

 – длина падающей волны,

m = 0, 1, 2, … – порядок максимума.

36

Пример 14. Плоская световая волна ( = 0,6 мкм) падает на ширму с круглой диафрагмой. На расстоянии b = 2 м за диафрагмой расположен экран. При каком диаметре D диафрагмы освещенность экрана в точке В, лежащей на оси светового пучка, будет максимально ослаблена.

Дано:

 = 0,6·10^–6 м

b = 2 м

D = ?

Р ешение:

Задачу решаем методом зон Френеля. Открытую часть фронта волны разобьем на зоны Френеля с помощью системы концентрических сфер с центром в точке В, радиусы которых

, где k = 0, 1, 2, … .

Поскольку в точку наблюдения волны приходят от соответствующих точек двух соседних зон в противофазе, то в точке В наблюдается минимум освещенности, если в отверстии укладывается четное число зон Френеля, и максимум, если в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля.

Искомая освещенность будет максимально ослаблена в том случае, когда в диафрагме укладывается две зоны Френеля.

Следовательно при k = 2 с учетом того что r₀ = b

.

Из АВС по теореме Пифагора следует

.

Диаметр отверстия

.

Ответ: D = 3 мм.

37

Пример 15. Каково наибольшее значение порядка дифракционного максимума для желтой линии натрия ( = 0,6 мкм) при нормальном падении лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего наблюдается максимумов?

Дано:

 = 0,6·10^–6 м

b = 2·10^–6 м

m_max = ?

N = ?

Р ешение:

Для решения задачи разность хода волн , идущих от краев щели, делим на участки по . Плоскости, параллельные АС и отстоящие друг от друга на , разбивают открытую часть фронта волны на зоны равные по ширине. Разность хода от соответствующих точек двух соседних зон будет равна . Колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят друг друга

Если число зон четное, то они попарно гасят друг друга и амплитуда результирующего колебания равна нулю.

Если число зон нечетное, действие одной из зон окажется не компенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Число зон, укладывающихся в отверстии, будет равно

,

где  = bsin – разность хода крайних волн.

Максимум имеет место, если число зон нечетное, т. е.

или

где m = 1, 2, З... – порядок максимума.

38

Порядок максимума m зависит от угла дифракции . Поскольку , то sin  1. Наибольшее значение порядка максимума будет при sin = 1. Отсюда

,

.

Поскольку m – целое число, то m_max = 3. Такой результат означает, что максимум третьего порядка не наблюдается, а максимум второго порядка наблюдается под углом меньшим .

Для подсчета полного числа наблюдаемых максимумов учтем, что дифракционная картина симметрична относительно максимума нулевого порядка, с учетом последнего

N = 2m_max + 1 = 7 .

Ответ: m_max = 3, N = 7.

П ример 16. На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на 1 мм, нормально падает белый свет. За решеткой помещена линза с фокусным расстоянием 2 м, проецирующая спектры на экран. Диапазон длин волн видимого спектра _ф = 0,4 мкм, _к = 0,7 мкм. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядка? Какова ширина спектра первого порядка? Какова разность углов отклонения конца первого и начала второго спектров?

39

Дано:

n = 500 мм^–1 = 5·10⁵ м^–1

F = 2 м

_ф = 0,4·10^–6 м,

_к = 0,7·10^–6 м

l₁ = ?

 = _2ф – _1к = ?

Решение:

Из условия главного максмума для дифракционной решетки

,

где d – период решетки,

 – угол, под которым виден максимум,

 – длина падающей волны,

m = 0, 1, 2, … – порядок максимума,

следует, что при фиксированном порядке m угол дифракции зависит от .длины волны. Поскольку _к > _ф, то _к > _ф , следовательно все максимумы кроме нулевого будут представлять собой спектр. В направлении  = 0 наблюдается максимум для всех длин волн, поэтому в сумме максимум нулевого порядка будет белым. Ширину спектра обозначим l.

Для ответа на первый вопрос нужно сравнить углы, в направлении которых наблюдаются максимумы первого порядка для _к (угол обозначим _к) и второго порядка для _ф (угол _ф)

Если _2ф < _1к, то спектры перекрываются.

Из условия главных максимумов имеем:

, ,

т.к. период решетки .

sin_1к = 5·10⁵·0,7·10^–6 = 0,35 ,

sin_2ф = 2·5·10⁵·0,4·10^–6 = 0,4 ,

_1к = 20⁰30', _2ф = 23⁰30',

т.к. _2ф > _1к, спектры не перекрываются.

Из чертежа следует, что длина спектра

l₁ = Ftg_1к – Ftg_1ф =F(tg_1к – tg_1ф) = 2(tg20⁰30' – tg11⁰30') = 0,34 ,

т.к. sin_1ф = n_ф = 5·10⁵·0,4·10^–6 = 0,2 ,

_1ф = 11⁰30' ,

 = _2ф – _1к = 23⁰30' – 20⁰30' = 3⁰ .

Ответ: 1) спектры 1 и 2 порядка не перекрываются,

2) l₁ = 34 см,  = 3⁰.