98. Разложение в ряд Фурье несинусоидальных периодических величин. Коэффициенты ряда Фурье.
Из математики известно, что всякая
периодическая функция 
,
где Т – период, удовлетворяющая условиям
Дирихле, может быть разложена в
тригонометрический ряд. Можно отметить,
что функции, рассматриваемые в
электротехнике, этим условиям
удовлетворяют, в связи с чем проверку
на их выполнение проводить не нужно.
При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:
|
(1) |
.
Здесь 
-
постоянная составляющая или нулевая
гармоника; 
-
первая (основная) гармоника, изменяющаяся
с угловой частотой 
,
где Т – период несинусоидальной
периодической функции.
В выражении (1) 
,
где коэффициенты 
и 
определяются
по формулам
;
Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):
Максимальное значение - 
.
Действующее значение - 
.
Среднее по модулю значение - 
.
Среднее за период значение (постоянная
составляющая) - 
.
Коэффициент амплитуды (отношение
максимального значения к действующему)
- 
.
Коэффициент формы (отношение действующего
значения к среднему по модулю) - 
.
Коэффициент искажений (отношение
действующего значения первой гармоники
к действующему значению переменной)
- 
.
Коэффициент гармоник (отношение
действующего значения высших гармонических
к действующему значению первой гармоники)
- 
.
99. Свойства кривых при разложении в ряд Фурье. Особые случаи разложения. Признаки отсутствия отдельных составляющих ряда.
Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.
Кривые,
симметричные относительно оси а
бсцисс.
К данному типу относятся кривые,
удовлетворяющие равенству 
(см.
пример на рис. 2). В их разложении
отсутствуют постоянная составляющая
и четные гармоники, т.е. 
.
Кривые, симметричные относительно оси ординат.
К данному типу относятся кривые, для
которых выполняется равенство 
(см.
пример на рис. 3). В их разложении
отсутствуют синусные составляющие,
т.е. 
.
Кривые, симметричные относительно начала координат.
К этому типу относятся кривые,
удовлетворяющие равенству 
(см.
пример на рис. 4). При разложении таких
кривых отсутствуют постоянная и
косинусные составляющие, т.е. 
.
100. Гармонически состав несинусоидальной функции.
Каждая функция
(где
Т- период функции), удовлетворяющая
условиям Дирихле, может быть разложена
в бесконечный дискретный тригонометрический
ряд Фурье. Записывается в двух формах:
;
.
Здесь
- это постоянная составляющая (нулевая
гармоника);
;
,
где n=0, если
>0
и n=1, если
<0.
-
это первая (основная гармоника),
изменяющаяся с угловой частотой
.
Далее идут
высшие гармоники
,
четные при
и нечетные при
Их угловая частота в k раз
больше чем у первой гармоники.
Гармонический состав несинусоидальной функции – это сумма гармоник (представляемая рядом Фурье) с разными амплитудами и кратными k частотами.
Также гармонический состав несинусоидальной функции может быть представлен графически амплитудными и фазовыми частотными спектрами. При построении амплитудного частотного спектра по оси абсцисс прямоугольной системы координат откладываются номера или частоты гармоник, а по сои ординат – амплитуды гармоник. Фазовый частотный спектр строится аналогично, но по оси ординат откладываются начальные фазы соответствующих гармоник.
Каждая функция (где Т- период функции), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в бесконечный дискретный тригонометрический ряд Фурье. Записывается в двух формах:
;
.
Здесь - это постоянная составляющая (нулевая гармоника);
; , где n=0, если >0 и n=1, если <0.
- это первая (основная гармоника), изменяющаяся с угловой частотой .
Далее идут высшие гармоники , четные при и нечетные при Их угловая частота в k раз больше чем у первой гармоники.
Гармонический состав несинусоидальной функции – это сумма гармоник (представляемая рядом Фурье) с разными амплитудами и кратными k частотами.
Также гармонический состав несинусоидальной функции может быть представлен графически амплитудными и фазовыми частотными спектрами. При построении амплитудного частотного спектра по оси абсцисс прямоугольной системы координат откладываются номера или частоты гармоник, а по сои ординат – амплитуды гармоник. Фазовый частотный спектр строится аналогично, но по оси ординат откладываются начальные фазы соответствующих гармоник.