6.3. Полярная система координат

П очему это простая на первый взгляд задача – определение расстояния между двумя точками, оказалась так важна? Дело в том, что способы описания точки на плоскости были известны и раньше. Так, почти на полвека раньше, в 1653 году, в Англии Академией Наук была разработана полярная система координат для военно-морского флота (рис. 6.3). они уже тогда учитывали кривизну поверхности земли.

В ней любая точка на плоскости М также описывалась с помощью двух чисел – расстояния от полюса О до точки М, которое обозначали буквой , и угла между ОМ и полярной осью L – . Она позволяла определять местонахождение моряков во время плавания. В этой системе не было отрицательных и иррациональных чисел – ведь расстояние всегда положительно и конечно. В ней можно было описать маршрут с помощью кривых, имеющих название астроида, кардиоида, улитка Паскаля, локон Аньези и т.д. Именно тогда были составлены таблицы тригонометрических функций углов, которые до сих пор удивляют своей точностью. Но в ней нельзя было найти расстояние между двумя точками, потому что они соединялись не отрезком прямой, а дугой. А геометрия Евклида рассматривала только прямолинейное соединение, как кратчайшее расстояние между двумя точками.

Но несмотря на эти недостатки, полярная система координат востребована до сих пор и широко применяется не только мореплавателями, но и летчиками и космонавтами. Интересна она и экономистам.

Покажем, как строятся точки в полярной системе координат.

1. Задаем полюс: точку P (аналог началу координат).

2. Задаем полярную ось Ol: масштаб и положительное направление.

3. Точку строят так:

а) Проводят луч OZ под углом  к оси Ol; отсчет производится против часовой стрелки. Если , то отчет производится по часовой стрелке (но это пришло много позже).

б) На луче OZ откладывают расстояние  в единицах масштаба полярной оси.

Пример 6.2. Изобразить точки , , , , (рис.6.5).

Рис. 6.4

Уравнение линии в полярной системе координат в общем виде записывают следующим образом: , считая, что  – аргумент (независимая переменная), – функция от .

Самая простая линия называется спиралью Архимеда. Углу  дают значения в радианной мере и приравнивают их значениям функции  (рис. 6.5).

	0							…
	0	0,785	1,571	2,355	3,141	4,710	6,282	…

Рис. 6.5

Если в уравнение связи входят тригонометрические функции или , то учитывают, что они могут принимать и отрицательные значения. Это нужно иметь в виду, поскольку мы будем считать, что (расстояние не может быть отрицательным).

Пример 6.3. Построить кривую (двухлепестковая роза).

Решение. Составим таблицу и в соответствии с ней построим график (рис. 6.6).

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0								
2	0				2				4
	0	1	0	–1	0	1	0	–1	0

Рис. 6.6

Здесь те значения , при которых , не рассматривались. Легко догадаться, что график , или , будет иметь k лепестков.

Связь между полярной и декартовой системами координат устанавливается просто, если совместить полюс и начало координат, полярную ось и ось абсцисс, и уравнять масштабы (рис. 6.7).

Рис. 6.7

В треугольнике OMK , , тогда

и . (6.7)

Это два равенства выражают  и  через x и y. С другой стороны

или (6.8)

Эти два равенства выражают x и y через  и .

Например, уравнение в декартовой системе координат запишется так:

,

или

,

т.е. в полярной системе оно имеет компактный вид. Мы будем переходить из системы в систему всегда, когда это облегчает какое-то действие.