7.3. Взаимное расположение прямых на плоскости

Очень часто при решении задач по аналитической геометрии приходится выяснять, пересекаются прямые или нет, и если да – то в какой точке и под каким углом. Ответим на этот вопрос.

Пусть две прямые L и L заданы своими общими уравнениями:

(7.6)

Какую информацию несут коэффициенты и ? Это координаты перпендикулярных (нормальных) векторов к обеим прямым (см. «уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору»).

Для того чтобы определить, будут ли они пересекаться, нужно решить систему уравнений (7.6). Вспомните, когда система будет совместна и определена. Когда главный определитель отличен от нуля, т.е. когда его строки непропорциональны: . Тогда система будет иметь единственное решение, которое можно найти любым методом (Крамера, Гаусса и т.д.).

Кстати, последнее неравенство как раз и говорит о непараллельности их нормальных векторов.

Если прямые параллельны, то система решения не имеет. Аналитически это будет выглядеть так:

.

Но если все три дроби равны, то прямые совпадают друг с другом, и поэтому система имеет бесконечное множество решений.

Угол между двумя прямыми можно найти по двум формулам.

Если прямые заданы общими уравнениями, то угол между ними совпадает с углом между их нормальными векторами. Его вычисляют по формуле (6.9) из предыдущей лекции. Для нашего случая она будет иметь вид:

. (7.7)

Условие параллельности прямых:

;

Условие перпендикулярности:

.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами вида:

и ,

то тангенс угла между ними определится по формуле:

. (7.8)

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

Пример 7.4. Найти точку пересечения прямых и и угол между ними.

Решение. Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений методом Крамера:

, , ,

, .

Угол между прямыми определим, как угол между их нормальными векторами (2, 5) и (5, –2). По формуле (7.7) имеем:

.

О чем говорит этот ответ? Прямые перпендикулярны, т.к. .

Пример 7.5. При каком значении параметров a и b прямые и : а) пересекаются, б) параллельны, в) совпадают?

Решение. Две прямые пересекаются, если выполняется условие . В нашем случае

.

Прямые параллельны, если , т.е.

.

И, последнее, две прямые совпадают при условии, что , т.е. если .

Пример 7.6. Дана точка и прямая . Написать уравнения прямых L₁ и L₂, проходящих через точку A, причем и .

Решение. Сделаем схематичный рисунок.

Рис. 7.6

Угловой коэффициент исходной прямой L равен k = –2. По условию , следовательно . По формуле (7.4) находим уравнение прямой L₁:

, или .

Поскольку , то . Тогда уравнение прямой L₂ будет иметь вид:

, или .

7.4. Определение кривой второго порядка

Определение 7.1. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат. В общем случае это уравнение имеет вид:

, (7.9)

где все числа А, В, С, и т.д. – действительные числа, и, кроме того, по крайней мере одно из чисел А, В, С – отлично от нуля.

До введения декартовой системы координат все кривые описывались словесно, исходя из геометрических свойств рассматриваемой кривой. Так, определение окружности читалось так:

Определение 7.2. Окружность – это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Уравнение окружности, с центром в точке (а, b) и радиусом R в декартовой системе координат, полученное вами в школе, выглядит так:

. (7.10)

Если раскрыть скобки, то получим уравнение, схожее с уравнением (7.9), в котором отсутствует член, содержащий произведение текущих координат, и коэффициенты при старших степенях равны между собой.

Вывод всех уравнений второго порядка аналогичен выводу уравнений прямой и проходит по тому же алгоритму.

Выведем уравнение параболы, исходя из ее определения.