9.3 Приклади економічних задач стохастичного програмування

Побудуємо математичну модель відомої задачі про визначення оптимального виробничого плану в термінах стохастичного програмування. Необхідно розрахувати оптимальний план виробництва трьох видів продукції , за якого максимізується загальний прибуток підприємства. Для спрощення розглянемо використання лише двох видів ресурсів, обсяги яких відомі:  од.,  од. Прибуток від реалізації одиниці j-го виду продукції є випадковим, але відомі ймовірності одержання k-ої величини прибутку від реалізації одиниці j-го виду продукції . Норми витрат і-го виду ресурсу на одиницю j-го виду продукції детерміновані. Початкові дані наведені в таблицях 1-4.

Таблиця 10.1

Прибуток від одиниці першого виду продукції, ум. од.	Ймовірність
10	0,3
13	0,4
15	0,3

Таблиця 10.2

Прибуток від одиниці другого виду продукції, ум. од.	Ймовірність
12	0,2
15	0,5
13	0,3

Таблиця 10.3

Прибуток від одиниці третього виду продукції, ум. од.	Ймовірність
12	0,3
11	0,5
14	0,2

Таблиця 10.4

Вид продукції	Норма витрат ресурсів на виготовлення одиниці продукції, ум. од.
	першого виду	другого виду
Перший	5	1
Другий	4	2
Третій	3	1,5

Розв’язання.

Як зазначалось, математична постановка задачі стохастичного програмування може бути подана в різних варіантах залежно від вигляду цільової функції. Розглянемо кілька можливих варіантів постановок для умов даної задачі.

І варіант.

Цільова функція залежить від випадкової величини, отже, математична модель даної задачі має вигляд:

,

.

Маємо одноетапну задачу стохастичного програмування з випадковими параметрами цільової функції. Очевидно, що величина F є також випадковою величиною з законом розподілу ймовірностей , де  – математичне сподівання, а  – дисперсія.

Щоб розв’язати таку задачу, необхідно знайти математичне сподівання .

Позначимо символами ,  – математичне сподівання прибутку від j-го виду продукції, тоді математична модель набуває вигляду:

,

.

У наведеній постановці маємо одноетапну задачу стохастичного програмування з М-моделлю, оскільки цільова функція є математичним сподіванням випадкової величини (прибутку).

Оскільки випадкова величина прибутку є дискретною і відомі значення відповідних ймовірностей , то можна безпосередньо обчислити значення . Отже, в числовому вигляді маємо:

.

Математична модель задачі набуває такого вигляду:

,

.

Початкова задача зведена до задачі лінійного програмування, яку можна розв’язати симплексним методом, але оптимальний план детермінованої задачі є наближеним розв’язком початкової стохастичної.

Оптимальним планом є , причому прибуток становить .

ІІ варіант.

Отриманий розв’язок може бути основою плану виробництва продукції за даних умов. Однак очевидно, що, оскільки значення випадкових величин були замінені їх математичним сподіванням, то розв’язок задачі знайдено як деяке усереднення всіх можливих за даних умов розв’язків. Для деякого набору фіксованих умов розрахований план може виявитись неоптимальним, тобто справжнє значення прибутку буде значно відрізнятися від очікуваного рівня. Якщо, наприклад, зовнішні умови складаються найнесприятливіше (мінімальні рівні прибутків для кожного з видів продукції), то значення цільової функції для відшуканого оптимального плану буде дорівнювати:

.

Очевидно, що відхилення даного значення від середнього очікуваного рівня (1848,78 – 1627,86 = 220,92) показує можливе завищення прибутку у плані. Відомо, що однією з головних характеристик відхилення значень випадкової величини від її середнього є дисперсія. Розрахуємо значення дисперсії для отриманого оптимального плану:

Середнє квадратичне відхилення дорівнює .

Якщо допустити, що випадкова величина має нормальний закон розподілу, то, враховуючи властивості середнього квадратичного відхилення (правило трьох «сігм»), визначимо межі, в яких змінюватиметься прибуток: . Якщо розраховані зміни прибутку не можуть влаштовувати особу, що приймає рішення, то доцільно ввести обмеження, яке зменшить ризик втрати доходу.

За необхідності зменшення можливих втрат прибутку в систему обмежень вводять умову, що дисперсія прибутку має не перевищувати деякої заданої величини. Розв’яжемо задачу з додатковою умовою, що дисперсія має не перевищувати 5000.

,

.

Ця задача є нелінійною. Розв’язавши її, маємо такий оптимальний план:

, причому прибуток буде змінюватися приблизно на 210 ум. од. (оскільки ).

ІІІ варіант.

Застосування інструментарію математичного програмування до розв’язання економічних задач уможливлює врахування найвибагливіших побажань стосовно набору властивостей розроблюваних планів. Допустимо, що необхідно, орієнтуючись на деякий середній рівень прибутку, досягти мінімального рівня можливих його змін. У такому разі доречно використати V-модель задачі стохастичного програмування:

,

де W – бажаний рівень сподіваного прибутку.

Зафіксуємо бажаний прибуток на рівні не нижче, ніж 1500 ум. од., і знайдемо оптимальний план такої задачі:

,

.

Розв’язавши цю задачу квадратичного програмування, маємо:

, мінімальна дисперсія сподіваного прибутку буде дорівнювати , тобто зміни прибутку відбуватимуться в межах  ум. од.

Вибір одного з наведених варіантів математичних моделей залежатиме від конкретної ситуації, поставлених цілей та вимог, однак наведений приклад показує, що використання стохастичних задач дає математично обґрунтовану інформацію, яка може бути основою прийняття рішень за складних реальних умов.