5.6. Кривые распределения. Критерии согласия

Кривая распределения – кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде.

Теоретическая кривая распределения - кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающем влияние случайных факторов.

Закономерности распределения - закономерности изменения частот в вариационных рядах.

Нормальное распределение выражается следующей стандартизированной кривой нормального распределения: ,

где y_t - ордината кривой нормального распределения; - стандартизированная (нормированная) величина; e и π – математические постоянные.

В статистической практике большой интерес представляет решение вопроса о том, в какой мере можно считать полученное в результате статистического наблюдения распределение признака в исследуемой совокупности, соответствующее нормальному распределению.

Для решения этого вопроса следует рассчитать теоретические частоты нормального распределения, т.е. те частоты, которые были бы, если бы данное распределение в точности следовало закону нормального распределения. Для расчета теоретических частот применяется следующая формула:

,

Величина определяется по специальной таблице (Приложение 1). Следовательно, в зависимости от величины t для каждого интервала эмпирического ряда определяются теоретические час­тоты.

Степень расхождения теоретических и эмпирических частот оценивается с помощью особых показателей – критериев согласия, с помощью которых проверяется гипотеза о законе распределения.

Наиболее распространенным является критерий согласия К. Пирсона χ² ("хи- квадрат"), исчисляемый по формуле:

,

где f - эмпирические частоты (частости) в интервале;

f´- теоретические частоты (частости) в интервале.

Полученное значение критерия (χ²_расч) сравнивается с таблич­ным значением (χ²_табл). Последнее определяется по специальной таблице (Приложение 2) в зависимости от принятой вероят­ности (Р) и числа степеней свободы k (для нормального распре­деления k равно числу групп в ряду распределения минус 3).

Если χ²_расч  χ²_табл , то гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

При расчете критерия Пирсона необходимо соблюдать усло­вия: число наблюдений должно быть достаточно велико (п  50); если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.

Используя величину χ², В.И. Романовский предложил оце­нивать близость эмпирического распределения кривой нормаль­ного распределения по отношению:

,

где k - число групп; (k – 3) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распре­деления.

Если < 3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Распространенным критерием согласия является критерий А.И. Колмогорова ():

,

где D - максимальное значение разности между накопленными эмпирически­ми и теоретическими частотами; - сумма эмпирических частот.

По таблице значений вероятностей -критерия находят соот­ветствующую вероятность (Р). Приведем краткую выдержку из таблицы значений функции k() А.Н. Колмогорова:

	1,23	1,36	1,63	1,80	2,00
Р или k()	0,9030	0,9505	0,9902	0,9970	0,9993

Если найденной величине  соот­ветствует значительная по величине вероятность (Р), то расхож­дения между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественны и рассматриваемое распределение следует закону нормального распределения.

Практическое и научное значение имеет распределение Пу­ассона. Оно характерно для редко встречающихся явлений, поэтому его называют "законом редких явлений" (или "законом малых чисел").

Закон Пуассона применяется для совокупностей, достаточно больших по объему (n  50) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (р  0,1), например, для распределения партий готовой продукции по числу забракован­ных изделий, печатных страниц по числу опечаток, станков по числу отказов, ткацких станков по числу обрывов нити и т. д.

Теоретические частоты распределения Пуассона определяют­ся формулой:

,

где n - общее число независимых испытаний;

 - среднее число появления редкого события в п одинаковых независи­мых испытаниях;

т - частота данного события (т = 0, 1, 2 ...);

е - основание натуральных логарифмов, е = 1,271828.