Величина е- определяется по специальной таблице (Приложение 3); m! – произведение 123…m; 0! – считается равным единице.
Например. Рассмотрим построение кривой нормального распределения на примере, характеризующем распределение партий деталей по длительности производственного цикла:
Таблица 5.2
Границы интервала, час |
Наблюдаемая частота, fi |
Нормированное отклонение для нижней границы интервала,
|
Нормированное отклонение для верхней границы интервала,
|
Значение интегральной функции Лапласа для F( ) |
Значение интегральной функции Лапласа для F( ) |
Оценка вероятности попадания в интервал
Pi |
Частота теоретического распределения
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7=6-5 |
8=7*71 |
-∞ - 28 |
0 |
-∞ |
-1,927 |
-0,5000 |
-0,4732 |
0,0268 |
1,9 |
28-113 |
5 |
-1,927 |
-1,393 |
-0,4732 |
-0,4177 |
0,0555 |
3,94 |
113-198 |
12 |
-1,393 |
-0,852 |
-0,4177 |
-0,3023 |
0,1154 |
8,19 |
198-283 |
12 |
-0,852 |
-0,312 |
-0,3023 |
-0,1217 |
0,1806 |
12,82 |
283-368 |
15 |
-0,312 |
+0,229 |
-0,1217 |
+0,0910 |
0,2127 |
15,11 |
368-453 |
9 |
+0,229 |
+0,769 |
+0,0910 |
+0,2791 |
0,1884 |
13,40 |
453-538 |
9 |
+0,769 |
+1,31 |
+0,2791 |
+0,4049 |
0,1258 |
8,93 |
538-623 |
7 |
+1,31 |
+1,86 |
+0,4049 |
+0,4686 |
0,0637 |
4,52 |
623-708 |
2 |
+1,86 |
+2,39 |
+0,4686 |
+0,4915 |
0,0229 |
1,63 |
708- +∞ |
0 |
+2,39 |
+∞ |
+0,4915 |
+0,5000 |
0,0085 |
0,59 |
Итого |
71 |
|
|
|
|
|
71 |
=
=
Нормальное
распределение определяется двумя
параметрами – это средняя арифметическая
и среднее квадратическое отклонение.
По нашим данным
=331
ч., σ = 157,25 ч. Все последующие расчеты для
определения теоретических частот
представлены в графах 3-8 табл.5.2. Значения
граф 5 и 6 определяются по таблицам
интегральной функции Лапласа (Приложение
4). 7 графа
определяется разностью гр.6 – гр.5.
Теоретическая частота гр.8
=
.
Например,
для первого интервала
=
0,0268·71 = 1,9 и т.д.
Расчет критерия Пирсона: при расчете нужно соблюдать следующие условия:
1) число наблюдений должно быть достаточно велико (п 50);
2) если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.
Воспользуемся данными примера, приведенного в табл.5.2, для расчета критерия "хи-квадрат", предварительно округлив теоретические частоты в гр.8, а также объединив частоты двух и трех последних интервалов, выполняя требование 5. Получим частоты эмпирического и теоретического распределений, приведенные в табл.5.3.
Таблица 5.3
Номер интервала |
Эмпирические частоты |
Теоретические частоты |
|
|
1 |
5 |
6 |
1 |
0,17 |
2 |
12 |
8 |
16 |
2,00 |
3 |
12 |
13 |
1 |
0,08 |
4 |
15 |
15 |
0 |
0,00 |
5 |
9 |
13 |
16 |
1,23 |
6 |
9 |
9 |
0 |
0,00 |
7 |
9 |
7 |
4 |
0,57 |
Итого |
71 |
71 |
|
4,05 |
χ²расч = 4,05.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения число степеней свободы равно (k-3), где k – число групп. Следовательно, число степеней свободы равно: 7-3=4.
Уровень значимости выбирается таким образом, что Р(χ²расч χ²табл)= (величина принимается равной 0,05 или 0,01).
При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 4: χ²табл=9,5.
Таким образом, расчетное значение критерия Пирсона не превышает табличное значение (4,05<9,5) при =0,05, т.е. проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.
Например, по критерию Романовского:
=
Так как рассчитанное отношение значительно меньше 3, следует принять гипотезу о нормальности эмпирического распределения.