6)Момент импульса материальной точки относительно точки и относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно оси. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

где  — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта,  — импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где  — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим .

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса): .

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело: .

Закон сохранения момента импульса

(закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: L(вектор)=const ,если система находится в равновесии.

Значит, если внешние силы таковы, что М(вектор) = 0, L(вектор)=const – перед нами закон сохранения импульса.

7)Основной закон динамики вращательного движения. Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы. Теорема Штейнера о параллельных осях.

Основной закон динамики для вращательного движения:

(Второй закон Ньютона):

I ( ) – угловое ускорение.

Моментом инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• m_i — масса i-й точки,

• R_i — расстояние от i-й точки до оси.

- момент инерции материальной точки

Момент инерции твёрдого тела = сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояния до оси вращения.

Физический смысл момента инертности:

Момент инертности – мера инертности тела. Аналогичен массе. Моментом инерции обладают любые тела.

Момент инертности зависит от:

• Формы тела

• Массы тела

• Размеров тела

• От распределения массы по форме тела (бывает при смещении центра масс);

• От положения оси относительно которой считается момент инерции (Теорема Штейнера).

Теорема Штейнера:

Теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

 — расстояние между указанными осями.