14)Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний в дифференциальной форме. Смещение, амплитуда и частота вынужденных колебаний. Явление резонанса. График зависимости амплитуды от частоты.

Уравнение вынужденных колебаний. Уравнение (13.1) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение II порядка. В неоднородном уравнении, в отличии от однородного, существуют слагаемые, содержащие аргумент (в нашем случае переменную t).

Решение неоднородного уравнения x(t) представляет сумму общего решения однородного уравнения x₁(t) и частного решения неоднородного уравненияx₂(t), т.е.  

x(t) = x₁(t) + x₂(t).

Первое нам известно - это решение уравнения собственных затухающих колебаний, а второе, исходя из тригонометрических соображений, будем искать в виде:

х₂(t) = A·cos(·t + ), где A и  - постоянные величины, представляющие собой амплитуду и сдвиг фаз между смещением и внешней силой.

Таким образом, общее решение будут иметь вид:

x(t) = A₀·e^-·t·sin(w·t + _) + A·cos(·t + ).     (13.2)

Первое слагаемое правой части этого выражения описывает собственные затухающие колебания, зависящие от начальных условий. Из уравнения (13.2) следует, что в течение определенного промежутка времени осциллятор будет совершать сложное негармоническое движение, т.к. оно является результатом сложения двух асинхронных колебаний. Однако, через промежуток времени t ~ 1/ амплитуда и энергия собственных колебаний уменьшатся до нуля и они прекратятся. При этом второе слагаемое останется неизменным и результирующее колебание будет гармоническим (см. рис. 13.1).

Параметры вынужденных колебаний. Найдем величины А и . Для этого подставим уравнение (13.3) и его производные по времени в выражение (13.1). Получим следующее равенство:

- A·^·cos(·t + ) - 2··A·sin(·t + ) + + A·w_^·cos(·t + ) = F₀·cos(·t)/m.

Проведя преобразования, получим соотношение:

A·(w_^ - ^)·cos(·t + ) - 2·· A·sin(·t + ) = = F₀·cos(·t)/m.     (13.4)

Найдем при каких значениях А и  будет выполняться соотношение (13.4)?(Это и есть поиск частного решения неоднородного уравнения). Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм. Каждое слагаемое в уравнении (13.4) последовательно представим в виде проекций на ось X векторов a, b ис, вращающихся относительно точки O с одной и той же угловой скоростью (см. рис. 13.3). Взаимное расположение этих векторов относительно друг друга задается сдвигом фаз между соответствующими слагаемыми уравнения (13.4). 

Обратите внимание, что если величина  > 0, то векторная диаграмма не замыкается, т.е. векторное равенство

a + b = c

не выполняется. Это может произойти только при  < 0. Воспользовавшись теоремой Пифагора a² + b² = c² для векторов, изображенных на рис. 13.3, получим следующее выражение:

A²·((w_^ - ^)² + 4²·²) = (F₀/m)².

Таким образом значение амплитуды вынужденных колебаний равно:

A = (F₀/m)/((w_^ - ^)² + 4²·²)^1/2.    (13.5)

Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и существенно зависит от соотношения между частотой вынуждающей силы и собственной частотой.

Величину сдвига фаз между смещением и вынуждающей силой найдем как тангенс угла наклона, величина которого равна отношению модулей векторов b/a (см. рис. 13.3).

tg f = - 2d·w/(w₀² - w²).     (13.6)

Заметим, что смещение отстает по фазе от вынуждающей силы.

Амплитудная резонансная кривая. Резонанс. 

Построим зависимостьА(w), график которой называется амплитудной резонансной кривой. Вид этой кривой зависит от величины коэффициента затухания d (см. рис. 13.4). Амплитуда, соответствующая значению частоты w = 0, называется статическим смещением. Т.к. F₀ = k·A_ст, то

А_ст = F₀/(m·w₀²) = F₀/k.     (13.7)

Из графика видно, что при определенном значении частоты вынуждающей силы амплитуда осциллятора становится максимальной.

Явление, при котором  амплитуда колебаний системы достигает максимального значения, характерного для некоторого значении частоты вынуждающей силы называется резонансом. 

Частота вынуждающей силы, при которой наступает данное явление, называется резонансной. Приравнивая к нулю производную выражения (13.5) по частоте и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим формулы для расчета резонансной частоты w_рез и амплитуды А_рез:

w_рез = (w₀² - 2d²)^1/2;     (13.8) А_рез = F₀/(2m·d·w₀).       (13.9)

При значении d = 0 амплитуда колебаний в резонансе стремится к бесконечности. 

Важной характеристикой осциллятора является отношение амплитуды его колебаний в резонансе к ее статическому значению. Из формул (13.7) и (13.9) следует, что это отношение равно добротности системы:

А_рез/А_ст = p/d = Q, где d - логарифмический декремент затухания.

Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.

Рассмотрим качественно физическую картину вынужденных колебаний в различных областях частот.

а) w << w₀. В уравнении движения (13.1) слагаемые, пропорциональные ускорению и скорости, много больше слагаемого w_о²·х, связанного с упругой силой. Следовательно, уравнение движения сводится к следующему виду:

w_о²·х = F₀/m · cos(w·t); x = F₀ cos(w·t)/k = F(t)/k.

Таким образом каждый момент времени смещение являлось таким, каким оно должно было бы быть, если бы сила не изменялась со временем и равнялась своему мгновенному значению. Силы трения роли не играют. Смещение совпадает по фазе с внешней силой.

б) w >> w₀. При большой частоте вынуждающей силы слагаемое, обусловленное ускорением, много больше слагаемых, связанных со скоростью и упругой силой. Таким образом, силы упругости и силы трения не играют никакой роли в колебаниях. Внешняя сила действует на осциллятор так, как если бы этих сил не было. Поэтому уравнение движения имеет вид:

x'' = F₀/m · cos(w·t).

Решение этого уравнения представляется формулой:

x = - F₀/(m·w²) · cos(w·t) = - F(t)/(m·w²).

Смещение отстает от силы по фазе на p.

в) Случай резонанса w = w₀. Слагаемое, связанное с ускорением, равно слагаемому, обусловленному упругой силой, т.е. x'' = - w²·x = - w₀²·x. Это значит, что ускорение создается силой упругости, а внешняя сила и сила трения взаимно компенсируются. Уравнение движения имеет вид:

2d·x' = F₀/m · cos(w·t). Решение этого уравнения представляется формулой:

x = F₀/(2d·m·w₀) · sin(w₀·t). Смещение отстает от силы по фазе на p/2.