8)Кинетическая энергия, работа и мощность при вращательном движении. Сопоставление основных формул и законов поступательного и вращательного движения. Кинетическая энергия при вращательном движении:
,
Т. к. V = wR,
Кинетическая энергия катящегося тела:
Работа при вращательном движении:
dA
= FdS cos α, cosa = 1.
dA = FdS - сила
dA = M • dφ
где M = F • R - момент силы.
9)Кинематика
гармонических колебаний. Величины,
характеризующие гармонические колебания:
период, частота, амплитуда, фаза. Связь
между периодом колебаний и циклической
частотой. Зависимости смещения, скорости
и ускорения от времени. Соответствующие
графики.
1)Фаза - Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой.
2)Период колебаний - Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T.
3)Часта колебаний - Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:
|
4)Связь частоты колебаний с циклической частотой и периодом колебаний - Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ |
||
Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями. Например, в случае механических гармонических колебаний:. В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ0 +π/2полностью совпадают. |
|
|
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0. |
|
|
Выражение,
стоящее под знаком cos или sin,
наз. фазой
колебания: Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени. |
|
|
Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе). |
|
|
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. |
||
Согласно
определению скорости, скорость – это
производная от координаты по времени |
|
|
Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2. |
|
|
Величина |
|
|
Следовательно,
для скорости при гармоническом
колебании имеем: |
|
|
Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:
Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе). |
||
Величина -
максимальное ускорение (амплитуда
колебаний ускорения). Следовательно,
для ускорения имеем: |
|
|
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения). |
||
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:
|
|
|
Можно
записать: т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота. |
|
|
Часто
бывает удобно записывать уравнения
для колебаний в виде: где T –
период колебания. Тогда, если время
выражать в долях периода подсчеты
будут упрощаться. Например, если надо
найти смещение через 1/8 периода,
получим: |
|
|
.
-
максимальная скорость колебательного
движения (амплитуда колебаний скорости).
, а
для случая нулевой начальной фазы 
(см.
график).
- вторая
производная от координаты по времени.
Тогда: 
.
, а
для случая нулевой начальной фазы: 
(см.
график).
и 
.
-
,
.
Аналогично для скорости и ускорения.
График гармонического колебания
График устанавливает зависимость смещения тела со временем.
Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.
\
10)Уравнение гармонических колебаний в дифференциальной форме. Зависимость смещения от времени. Связь между циклической частотой и массой колеблющейся точки. Энергия гармонических колебаний (кинетическая, потенциальная и полная). Соответствующие графики.
Уравнение гармонических колебаний
|
дает зависимость колеблющейся величины S от времени t; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде
дважды продифференцируем его по времени:
Видно, что выполняется следующее соотношение:
(2)
которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и j0); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.