2. Числовая последовательность.

1. Предел числовой последовательности.

Рассмотрим функцию х_n от натурального аргумента. Аргумент n принимает все значения натурального ряда 1,2,3,…, n, ,…, члены которого мы представляем себе упорядоченными по возрастанию, так что (большее число) следует за меньшим n.

Если задана функция х_n , то её аргумент n (или указатель) можно рассматривать как номер соответствующего значения переменной.

Определение. Если каждому числу n ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число х_{n ,} то множество занумерованных вещественных чисел х₁, х ₂, …, х_n, … будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента х_n=f(n). Сокращенная запись { х_n} , где

х₁ - первый член последовательности,

х ₂ - второй член последовательности, …

х_n - n –ый член последовательности, …

Номер n рассматривается как номер соответствующего члена последовательности.

Мы будем представлять себе множество { х_n} упорядоченным, наподобие натурального ряда 1,2,3,…, n, ,… по возрастанию номеров, т.е. в виде числовой последовательности

х₁, х ₂, …, х , … , х ,… (1)

При > n значение х следует за х , независимо от того, будет ли х больше, меньше или равно х_n. Последовательность можно задать общим членом:

1. { х_n}=, т.е. 1, 1, 1,…, 1,…

2. = 0,1,0, ,0, ,… (или х_n= ).

3. = 1, , , …, ,… (или х_n= ).

4. = 1, - , ,- ,… (или х_n= ).

5. =1,-1,1,-1,… (или х_n= ).

Последовательность можно задать рекуррентной формулой. Например,

х_n+1 = х_n +2, х₁=1, т.е. х₁=1, х₂=3, х₃=5,….

ИТАК: 1. Для элементов последовательности установлен определенный порядок.

2. Один элемент последовательности может повторяться несколько раз (даже бесконечное число раз).

Упорядочение значения переменной х_n по возрастанию их номеров облегчает понимание «процесса» приближения переменной х_n ( при безграничном возрастании n ) к её пределу.

Определение 1 (нестрогое). Число а называют пределом переменной ( или числовой последовательности { х_n} ), если величина х_n отличается от а , сколь угодно мало, начиная с некоторого места, т.е. для всех достаточно больших номеров n .

Опеделение 2 (строгое). Число а называют пределом переменной х_n ( или числовой последовательности { х_n} ), если для каждого положительного сколь угодно малого ( >0) существует такой номер N , что все значения х_n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству (или или ), т.е. запись эквивалентна записи .

Тот факт, что а является пределом переменной х_n записывается так:

=a,

говорят, что переменная х_n стремиться к а, и пишут х_n а при n .

Если а является пределом последовательности (1), то говорят, что последователь-ность сходится к а .

В строгом определении предела, номер N не может быть указан раз и навсегда; он зависит от выбора . Иногда, чтобы подчеркнуть это, мы вместо N будем писать . При уменьшении соответствующий номер будет увеличиваться, т.е.чем большей близости переменной х_n к а мы требуем, тем более далекие значения её в ряду (1) приходится рассматривать. Исключение представляет тот случай, когда все значения переменной равны постоянному числу а или становятся равными а, начиная с некоторого места. Тогда =a выполняется для любого >0 при всех значениях х_n одновременно.

Открытый промежуток ( ) с центром в точке а принято называть -окрестностью точки а . Какую бы малую окрестность точки а ни взяли, все значения х_n а , начиная с некоторого номера должны попасть в эту окрестность. Вне окрестности может остаться лишь конечное число этих значений.

х₂ х₄ х_n+1 х_n+3 х_n+6 х_n+2 х_n х₅ х₁

Геометрический -- ---- ------(---- ---- ------ -- ---- ----- --)-- ---- --

смысл -окрестноcти а- а а+

В определении предела номер N указывает то «место», начиная с которого (n>N) переменная будет попадать в -окрестность точки а, выбирается произвольно.

Рассмотрим несколько примеров последовательностей.

1. = 1, , , …, ,… = 0. Проверим это. Возьмем =0,01, тогда <0,01 или т.е. n>100. Это значит, что начиная со 101 элемента, все элементы последовательности будут меньше заданного =0,01. Следовательно, последовательность сходится, и предел её равен 0.

2. =0,2,0,2,… Предел этой последовательности равен 0 или 2, т.е. стремиться к двум точкам.

Определение. Точка х₀ называется предельной точкой ( или точкой сгущения) последовательности { х_n}, если любая окрестность точки х₀ содержит бесконечно много членов этой последовательности. Точка х₀ может как принадлежать, так и не принадлежать этой последовательности.

В примере 1 – одна предельная точка, которая не принадлежит последовательности, в примере 2 - две предельные точки, принадлежащие последовательности.

Не следует путать понятии «предел» и «предельная точка».

Вне некоторой окрестности предельной точки может быть (если их несколько) бесконечное число точек последовательности, а у предела – конечное. Так в примере 2 у последовательности две предельные точки, поэтому последователь-ность несходящаяся, в примере 1 у последовательности один предел, поэтому последовательность сходится.

Определения.

Числовая последовательность { х_n} называется:

- ограниченной сверху, если существует число М, что х_n ,

- ограниченной снизу , если существует число m, что х_n m,

- неограниченной, если для А>0 найдется элемент х_n этой последовательности такой, что х_n множеству ,

- ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.

Число М называется верхней гранью (или границей) последовательности {х_n} (или множества Х = .

Наименьшую из всех верхних граней ограниченного сверху множества Х называют точной верхней гранью множества Х и обозначают

.

Число m называется нижней гранью (или границей) последовательности {х_n} (или множества Х = .

Наибольшую из всех нижних граней ограниченного снизу множества Х называют точной нижней гранью множества Х и обозначают

.

Замечание. Неограниченная последовательность не имеет конечного предела,

но она может иметь бесконечный предел = .

Если, начиная с некоторого номера, все члены положительны (отрицательны), то

пишут =+ ( = ).

Определения .

Числовая последовательность { х_n} называется возрастающей, если

x₁< x₂<,…, x_n< ….

Числовая последовательность { х_n} называется убывающей, если

x₁> x₂>,…, x_n>….

Числовая последовательность { х_n} называется невозрастающей, если

x₁ x₂ ,…, x_n ….

Числовая последовательность { х_n} называется неубывающей, если

x₁ x₂ ,…, x_n ….

Все такие последовательности называются монотонными, а последовательности возрастающая и убывающая называются строго монотонными.