7. Классификация бесконечно больших величин.
1. Две ББВ y и z
считаются величинами одного
порядка, если их отношение
(а с ним
) имеет конечный и отличный от нуля
предел.
2. Если отношение само оказывается ББ ( а обратное отношение -БМ), то z считается ББВ высшего порядка, чем y , и одновременно y будет ББВ низшего порядка, чем z .
В случае, когда отношение ни к какому конечному пределу не стремится и в то же время не будет ББВ, то ББВ y и z несравнимы.
При одновременном рассмотрении ряда ББВ одну из них (скажем y) выбирают в качестве основной и с её степенями сравнивают остальные ББВ.
ББВ z называется величиной k-го порядка относительно основной ББВ y, если
и
y
будут одного порядка, т.е. если отношение
имеет конечный и отличный от нуля
предел.
Вопросы и упражнения по пройденному материалу.
Строгое определение предела числовой последовательности.
Понятие
окрестности
точки а. Геометрический смысл
-
окрестности для сходящейся
последовательности.Определение числовой последовательности, ограниченной сверху (снизу). Примеры.
Разница между понятиями «предел» и «предельная точка» последовательности. Привести примеры.
Определение ограниченной числовой последовательности. Определение неограниченной сверху (снизу) числовой последовательности.
Определение предела числовой последовательности.
Определение сходящейся последовательности. Примеры.
7. Какая последовательность называется бесконечно малой?
Свойства бесконечно малых последовательностей. Привести пример.
8. Возрастающие и убывающие последовательности: определение и примеры.
Если умножить каждый член бесконечно
малой последовательности
на число 250, будет ли новая последовательность
бесконечно малой последовательностью?
Ответ обосновать.
9. Написать формулу общего члена
последовательности
Определить
и
.
10. Определить возрастает или убывает
последовательность
.
11. Найти предел
,
т.е. освободиться от неопределенности
.
Какие неопределенности ещё знаете?
Определение БМ последовательности. Примеры БМП. Основные свойства БМП.
Определение ББВ (ББ последовательности). Примеры ББ. Связь между БМ и ББ. Примеры БМ и ББ.
Определение ББВ (ББ последовательности). Примеры ББ. Связь между БМ и ББ. Примеры БМ и ББ.
Изменится ли предел сходящейся последовательности, если к ней приписать конечное число первых членов или отбросить конечное число первых членов?
Ответ обосновать.
Арифметические свойства пределов числовых последовательностей.
Какие БМВ называются эквивалентными?
Какая БМВ считается БМВ высшего порядка относительно другой БМВ?
Какая ББВ считается ББВ высшего порядка относительно другой ББВ?
Какие ББВ называются величинами одного порядка?
Какая БМВ считается БМВ низшего порядка относительно другой БМВ?
Какая ББВ называется величиной k-ого порядка относительно основной ББВ?
Какие ББВ называются несравнимыми?
Необходимое и достаточное условие эквивалентности двух БМВ.
Какие БМВ называются несравнимыми?
26. При
определить порядок малости относительно
x бесконечно малой
величины a).
.
b).
.
c).
d).
При определить порядок малости относительно x бесконечно малой величины
а).
b).
c).
d).
При определить порядок малости относительно x бесконечно малой величины a).
b).
c).
d).
При определить порядок малости относительно x бесконечно малой величины
a). . b).
38. Вычислить пределы: a).
,
b).
,
c).
Доказать, что
.Вычислить пределы: a).
,
b).
,
c).
Доказать, что
.
Вычислить пределы: а).
,
b).
,
c).
Доказать, что при
~
.
Доказать, что при
~
.Доказать, что при
~
.Найти
.
Найти inf (
)
, sup (
)
для последовательностей с общим членом
;
;
.
Для последовательности с общим членом
найти inf ( ) , sup ( ).
Найти нижнюю и верхнюю грани последовательности с общим членом
,
,
Определить предел a последовательности
и номер члена последовательности,
начиная с которого
<0,01.Найти пределы:
