4. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей.

Имеются две сходящиеся последовательности с конечными пределами =a и =b.

Если последовательности имеют пределы, то предел суммы (разности)

последовательностей равен сумме (разности) пределов

(или ( )= =a b).

Доказательство. Представим и , где - БМ. Тогда ( + )= ( + )=(a+b)+ ( + )= a+b, т.к. =0, =0.

2. Если каждый элемент последовательности умножить на одно и тоже число, то предел увеличится во столько же раз (или с =c = сa).

Доказательство. Положим , где - БМ. Умножим на число с каждый элемент последовательности, получим .

Тогда с = сa+ с = сa.

3. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся

последовательность, предел которой равен произведению пределов

( или =a ) .

4. Частное двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному от пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю (или = , при условии, что b 0).

4. Предельный переход в равенствах и неравенствах

При установлении существования и величины предела часто бывают полезны следующие теоремы.

Если две переменные и при всех их изменениях равны = , причем каждая из них имеет конечный предел =a и =b , то равны и эти пределы a =b (или = ) .

Это следует из единственности предела.

Если для двух переменных и всегда выполняется неравенство , причем каждая из них имеет конечный предел =a и =b , то a b (или ).

Доказательство от противного.

Как частный случай, можно получить утверждение:

Если =a , причем всегда р ( ), то а р ( а ).

Если для переменных , и z =a и z =а и всегда выполняются неравенства z , то =а.

Все приведенные теоремы легко распространяются и на случай бесконечных

пределов.

5. Неопределенные выражения.

Мы рассматривали выражения , , в предположении, что и имеют конечные пределы и устанавливали пределы этих выражений. Рассмотрим случаи, когда пределы переменных и (один или оба) бесконечны или в случае о частном предел знаменателя равен нулю. В таких случаях необходимо знать законы изменения переменных вместе с n и исследовать выражения. В зависимости от закона изменения переменных будем иметь различные значения выражений и даже вовсе не иметь предела.