24. Неравенство Чебышева

Первое неравенство Чебышева-Маркова:

Для каждой неотрицательной СВ х, имеется мат.ожидание М(Х), при любом ε>0, справедливо неравенство:Р(х≥ ε)<М(х)/ ε

Второе неравенство Чебышева.

Для каждой СВ х, имеют дисперсию σ^2 при любой ε>0, справедливо неравенство:

Теорема Чебышева:

Пусть Х1 Х2……….Хn попарно независимые случайные величины, если их дисперсии ограничены, то для сколь угодно малого числа ε, вероятности неравенства :

,

будет сколь угодно близко к 1.

42. Критерий согласия Пирсона

Критерием согласия наз. критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К.Пирсона («хи квадрат»). Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

Варианты……………

Эмпирические частоты…

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты . При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

Естественно, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.Доказано, что при n закон распределения СВ (А) стремится к закону распределения с степенями свободы независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность. Поэтому сам критерий называют критерием согласия .Число степеней свободы определяется из равенства , где s – число групп (частичных интервалов) выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (матем. ожидание и ср. квадратическое отклонение), поэтому число степеней свободы .Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости : .Т.о. правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – соответственно неравенством . Обозначим значение критерия, вычисленного по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы:Для того, чтобы при заданном ур-е значимости проверить нулевую гипотезу H₀: генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы k=n–3 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

29. Статист. Распределение выборки

При систематизации данных выборочных обследований исп. статистические дискретные и интервальные ряды распределения. 1. Статист. дискретное распределение. Полигон. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, хk – nk раз и ∑ni=n - объем выборки. Наблюдаемые значения х1 наз. вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой ni/n=wi. Статист. (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки наз. последовательность вариант хi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi. Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статист. дискретным рядом распределения:

x1 x2 ... xm

n1 n2 ... nm

(сумма всех частот равна объему выборки ∑ni=n)

или в виде таблицы распределения относительных частот: x1 x2 ... xm

w1 w2 ... wm

(сумма всех относительных частот равна единице ∑wi=1)

Полигоном частот наз. ломаную, отрезки, кот. соединяют точки (х1,n1),(х2,n2),...,(хk,nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х2, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi,ni) соединяют отрезками и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот наз. ломаную, отрезки, кот. соединяют точки (х1,w1), (х2,w2),...,(хk,wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат соответствующие им частоты wi. Точки (хi,wi) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот. 2. Статист.интервальный ряд распределения. Гистограмма. Статист. дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно ( или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы. Статист. распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).