Понятие вектора. Действия с векторами. (11)

Геометрическим вектором (или просто вектором) называется направленный отрезок. Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Сложение вектором. Суммой а + б двух вектором а и б называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора б при условии, что вектор б приложен к концу вектора а.

Правило сложение вектором обладает теме же самыми свойства, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел: а+б=б+а (переместительное свойство); (а+б)+с=а+(б+с) (сочетательное свойства); существует нулевой вектор 0 такой, что а+0=а для любого вектора а; для каждого вектора а существует противоположный ему вектор а’ такой, что а+а’=0.

Правило параллелограмма: если векторы а и б приложены к общему начало и на них построен параллелограмм, то сумма а+б (или б+а) этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов а и б

Разностью а-б вектора а и вектора б называется такой вектор с, который в сумме с вектором б дает вектор а.

Произведением αа (или аα) вектора а на вещественное число α называется вектор б, коллинеарный вектора а, имеющий длину, равную |α|*|a|, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случает α>0 и противоположное направлению вектора а в случае α<0.

Линейная зависимость векторов (линейных комбинации двух и трех векторов). (12)

Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными.

Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Векторы а₁, а₂, … , а_n называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация такая, что .

Векторы а1, а2, …, аn называются линейно независимы, если из условия следует тривиальность линейной комбинации , то есть, что .

Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Линейная зависимость векторов (линейные комбинации четырех векторов). (13)

Любые 4 вектора линейно зависимы.

Скалярное произведение двух векторов: геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения. (14)

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла меду ними.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым на указанных векторов.

Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярными) двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Два нулевых вектора а и б составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их сказярное произведение положительно (отрицательно).

аб-ба (переместительное свойство); (αа)-б-α(ба) (сочетательное свойство относительно числового множителя); (а+б)с=ас+бс (распределительное свойство относительно суммы векторов); аа>0, если а – нулевой вектор, и аа = 0, если а – нулевой вектор.

Скалярное произведение двух векторов: выражение скалярного произведения в декартовой системе координат. (15)

Если два вектора а и б определены своими декартовыми прямоугольными координатами а-(х1, у1, z1), б-( х2, у2, z2), то скалярное произедеие этих векторов равно сумме попарных произведений их соответстующих координат, т.е. a*б=x1*x2+y1*y2+z1*z2.

Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов а=х1i+y1j+z1k, б=x2i+y2j+z2k является равенство х1х2 + у1у2 + z1z2 = 0.

Угол фи между векторами а - х1i+y1j+z1k, б - x2i+y2j+z2k определяется по формуле . В самом деле, угол между векторами определяется по формуле

Векторное произведение двух векторов: геометрические и алгебраические свойства векторного произведения. (16)

Векторным произведением вектора а на вектор б называется вектор с, обозначаемый символом с = [аб] = а*б и удовлетворяющий трем требованиями: длина вектора с равно произведению длин векторов а и б на синут угла фи между ними, то есть |с|=|[аб]|синус фи; вектор с ортогонален к каждому из векторов а и б; вектор с направлен так, что тройка векторов абс является правой.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Длина (или модуль) векторного произведения [аб] равняется площащи S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и б.

Если с – какой-нибудт вектор, п – любая содержащая его плоскость, е – единичный вектор, лежащий в плоскости п и отогональный к с, джи – еденичеый вектор, ортогональный к плоскости п и направлен так, что тройка е с джи является правой, то для любого лежащего в плоскости п вектора а справедлива формула [ас]=пр_еа*|с|джи

Векторное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойства: |аб|=-|аб| (свойства антиперестановочности сомножителей); [(αа)б]=α[аб] (сочетательное свойства относительно числового множителя); [(а+б)+с]=[ас]+[бс] (распределительное свойства относительно суммы векторов); [аа] = 0 для любого вектора а.

Векторное произведение двух векторов: выражение векторного произведения в декартовой системе координат. (17)

Если два вектора а и б определены своими декартовыми прямоугольными координатами а = {x1, y1, z1}, б = {x2, y2, z2}, то векторное произведение этих векторов имеет вид [аб] = {y1z2 - y2z1,z1x2 – z2x1,x1y2 – x2y1} или . Раскрывая определитель, по элементам первой строки, получает разложением вектора по базису i, j, k.

Если два вектор а = {x1, y1, z1} и б = {x2, y2, z2} коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е. x1/x2 = y1/y2 = z1/z2

Смешанное произведение векторов и его свойства. (18)

Если вектор а векторно умножается на вектор б, а затем получившийся при этом вектор [аб] скалярно умножается на вектор с, то в результате получается числ [аб]с, называемое смешенным произведением векторов а, б и с.

Смешенное произведение [аб]с равно объему параллелепипеда, простроенного на приведенных к общему началу векторах а, б и с, взятому со знаком плюс, если тройка абс – правла, и со знаком минус, если тройка абс – левая. Если же вектора а, б ис компланарны, то [аб]с равно нулю.

Из переместительного свойства скалярного произведения вытекает, что а[бс] = [бс]а, и достаточно доказать, что [аб]с = [бс]а. С точность до знакого, последнее равенство очевидно, ибо как правая, так и левая его части с точностью до знака равны параллелепипеда, построенного на вектора а, б и с. Но и знак правой и левой частей последнего равенства совпадают, ибо обе тройки абс и бса имею одинаковую ориентацию.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов являет равество нулю их смешаного произведения.

Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Смешанное произведение в декартовой системе координат. (19)

Если три вектор а, б и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами a={x1, y1, z1}, б = {x2, y2, z2}, с = {x3, y3, z3}, то смешанное произведение абс равняется определителю, строки которого соответстстенно равны координатам перемножаемых векторов (матрица).

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={x1, y1, z1}, б = {x2, y2, z2}, с = {x3, y3, z3} является равенство нулю определителя, строками котрого служат координаты этих векторов.

Общее уравнение прямой. Неполное уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках. (20)

Уравнение Ax + By + C = 0 с произвольным коэффициентами A, B и C такими, что A и B не равно нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.

Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 называется полным, если все его коэффициенты A, B и C отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных кэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

Вектор n = {A, B} называется нормальным вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

С = 0. Уравнение Ах + Вх = 0 определяет прямую, проходящую через начало координат. Координаты начала удовлетворяют этому уравнению.

В = 0. Уравнение Ах + С = 0 определяет прямую, параллельную оси Оу. Нормальный вектор этой прямой n = {А, 0} ортогонален оси Оу.

А = 0. Уравнение Ву + С = 0 определяет прямую, параллельную оси Ох. Нормальный вектор этой прямой n = {0, B} ортогонален оси Ох.

В = 0 и С = 0, уравнение Ах = 0 определяет ось Оу (эта прямая параллельна оси Оу и проходит через начало координат).

А = 0 и С = 0, уравнение Ву = 0 определяет ось Ох (эта прямая параллельна оси Ох и проходит через начало координат).

Уравнение х/а + у/б = 1 назыается уравнением прямой в отрезках. В уравнение «прямой в отрезка» числа а и б имеют простой геометрический смысл: они равно величинами отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).