Каноническое уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве. (27)

Любой ненулейвой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Прямую линию в пространстве можно представить как линию пересечения двух различных и не параллельных плоскостей, определяемых уравнением (А1х + В1у + С1з + Д1 = 0; А2х + В2у + С2з + Д2 = 0). Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М1(х1, у1, з1) и имеющей заданный направляющий вектор ку=(л, м, н). Для этого заметим, что точка М(х, у, з) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы М1М = (х-х1, у-у1, з-з1) и ку = (л, м, н) коллинеарны, то есть тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны (х-х1)/л = (у0-у1)/м = (з-з1)/н . Это уравнение и есть уравнением прямой, проходящей через точку М1(х1, у1, з1) и коллинеарной вектору ку = (л, м, н). Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Угол между двумя прямыми в пространстве, условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. (28)

Пусть две прямые в пространстве Л1 и Л2 заданы своими каноническими уравнениями. Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла фи между их направляющими векторами: ку1 = (л1, м1, н1), ку2 = (л2, м2, н2).

Условие параллельности прямых Л1 и Л2, эквивалентное условию коллинеарности векторов ку1 и ку2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид Л1/Л2 = м1/м2 = н1/н2

Условие перпендикулярности прямых л1 и л2 может быть получено из условия, что косинус фи = 0 и выражено равенством нулю скалярного произведения ку1*ку2. Оно имеет вид л1л2 + м1м2 +н1н2 = 0.

Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью. (29)

Две прямы в пространстве могу: пересекаться, быть параллельными, скрещиваться. В первых двух случаях прямые Л1 и Л2 лежат в одной плоскости. Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора М1М2, ку = (л1, м1, н1), ку2 = (л2, м2, н2) были компланарны, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение этих трех векторов равнялось нулю. Записывая смешенное произведение указанных трек векторов и координат, приходим к следующему необходимому и достаточному условию принадлежности двух прямых одной плоскости. . Если прямые Л1 и Л2 удовлетворяют этому условию, то они либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие параллельности прямых Л1 и Л2 имеет вид Л1/Л2 = м1/м2 = н1/н2, то для пересечения прямых Л1 и Л2 необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию (определителю) и чтобы нарушалась хотя бы одно из пропорций Л1/Л2 = м1/м2 = н1/н2.

Угол пси между прямой Л и плоскость п является дополнительным к углу пси между направляющим вектором прямой ку = (л, м, н) и нормальным вектором н = (А, В, С), то из определения скалярного произведения ку н = |ку||н|косинус пси из равенства кос пси = син пси, получим для определения угла фи между прямой Л и плоскость п следующую формулу: син фи = (Ал + Вм + Сн)/корень(А^2 + B^2 +C^2)корень(л^2 + m^2 + n^2). Условие