Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой и плоскости. (30)

Услове параллельности прямой Л и плоскоси п (включающее в себя принадлежность Л кк п) эквивалентно условию перпендикулярности векторов н и ку и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов: Ал + Вм + Сн = 0.

Условие перпендикулярности прямой Л и плоскости п эквивалентно условию параллельности векторов н и ку и выражается пропорциональностью координат этих векторов А/л = В/м = С/н

Условие принадлежности прямой х-х1/л = у – у1/м = з-з1/н к плоскости Ах + Ву + Сз + Д = 0. Эти условия выражаются двумя равенствами: Ах1 + Ву1 + Сз1 + Д = 0; Ал + Вм + Сн = 0. Первое из которых означает, что точка М(х1, у1, з1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе если условие параллельности прямой и плоскости.

Эллипс и его свойства. (31)

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Ф1 и Ф2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокуса совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Уравнение х^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 называется каноническим уравнением эллипса. Величина а и б называюся соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>б). Если полуося эллипса а и б равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен Р = а = б, а центр совпадает с началом координат.

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симетрии (главные оси эллипса) и цент симметрии (центр эллипса). Главными осями эллипса являются оси координат, а центром – начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса.

Весь эллипс содержится внутри прямоугольника |х|<=a |у|<=b.

Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности.

Гипербола и ее свойства. (32)

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояшний до двух фиксированных точек Ф1 и Ф2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Уравение х^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 называется каноническим уравнением гиперболы.

Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью гиперболы. Мнимая ось гиперболы разделяет плоскость на правую и левую полуплоскости, в которых расположен симетриченые относительно этой оси правая и левая ветви гиперболы.

Рассмотрим область Джи, которая получена объединением прямоугольника Д, координаты х и у точек которого удовлетворяют неравенствам |х|< a, |y|<b, и тех двух углом, образованных диагоналями этого прямоугольника, в которых располагается мнимая ось гиперболы. Можно показать, что в области Джи нет точек гиперболы. Диагонали Д опряделяются уравнениями y=+ - b/a x.

Ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника Д, которые называются асимптотами гиперболы.

Наряду с гиперболой рассматривают так называемую сопряженную по отношению к ней гиперболу.

Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением х^2/a^2 – y^2/b^2 = -1. Сопряженная гипербола имеет те же асимптот, что и данная.