1.5. Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдем параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона:

Где и известны – они вычисляются по выборке.

= 0,9721 = 0,790132

Значения этой функции вычисляются для середины частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при х = . На практике для упрощения вычислений функции , где i = 1,2,…, k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения для i = 1,2,…, k, затем по таблице находим значение .

= 0,0241

= 0,0863

= 0,2083

= 0,3485

= 0,3973

= 0,3123

= 0,1669

= 0,0608

И после вычисляем функцию:

0,024791 0,408702

0,088776 0,321263

0,214278 0,171690

0,358502 0,062545

Функция , вычисленная при заданных параметрах и в середине частичного интервала, фактически является теоретической относительной частотой, отнесенной к середине частичного интервала.

Поэтому для определения теоретической частоты , распределенной по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на .

где h = 0,6

где n = 60

Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 1.3.

В первом столбце таблицы расположены k частичных интервалов, во втором столбце расположены наблюдаемые частоты ni , в третьем столбце расположены координаты середины частичных интервалов, в четвёртом столбце расположены относительные частоты, в пятом столбце расположены значения экспериментальной функции плотности, в шестом столбце расположены значения zi , в седьмом столбце расположены значения теоретической функции плотности, вычисленные в середине частичных интервалов, в восьмом столбце расположены значения теоретических вероятностей, в девятом столбце расположены значения теоретических частот.

Таблица 1.3

Результаты вычисления экспериментальных и теоретических

вероятностей и частот.

[xi-1; xi)
[-1,82; -1,22)	3	-1,52	0,05	0,083	-2,3764	0,024791	0,0148746	0,892
[-1,22; -0,62)	1	-0,92	0,016	0,027	-1,7592	0,088776	0,0532656	3,192
[-0,62; -0,02)	5	-0,32	0,083	0,138	-1,1419	0,214278	0,1285668	7,714
[-0,02: 0,58)	14	0,28	0,23	0,38	-0,5247	0,358502	0,2151012	12,906
[0,58; 1,18)	18	0,88	0,3	0,5	0,0924	0,408702	0,2452212	14,713
[1,18; 1,78)	11	1,48	0,183	0,305	0,7096	0,321263	0,1927578	11,565
[1,78; 2,38)	3	2,08	0,05	0,083	1,3268	0,171690	0,103014	6,18
[2,38; 2,98)	5	2,68	0,083	0,138	1,9441	0,062545	0,037527	2,251
Σ	60		0,995				0,990328	59,413

Построим график экспериментальной и теоретической плотности нормального распределения (рис 1.1).